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3.2 导数与函数的小综合,知识梳理,考点自测,1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是 . (2)可导函数f(x)在a,b上单调递增,则有 在a,b上恒成立. (3)可导函数f(x)在a,b上单调递减,则有 在a,b上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f(x)在该区间内 .,单调递增,单调递减,常数函数,f(x)0,f(x)0,不变号,知识梳理,考点自测,2.函数的极值 一般地,当函数f(x)的图象在点x0处连续时, (1)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,知识梳理,考点自测,3.函数的最值 (1)图象在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在(a,b)内可导,图象在a,b上连续,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的 ; 将f(x)的各极值与 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),知识梳理,考点自测,1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值. 2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0.( ) (2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( ),知识梳理,考点自测,2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是 ( ) A.在区间(-2,1)内,f(x)是增函数 B.在区间(1,3)内,f(x)是减函数 C.在区间(4,5)内,f(x)是增函数 D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数,C,3.(2016四川,文6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,D,解析:f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2, 易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.,知识梳理,考点自测,A,知识梳理,考点自测,5.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为 .,-3,3,解析:函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数, f(x)=3x2+2ax+30在R上恒成立, =4a2-360,解得-3a3.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点五,讨论函数的单调性或求单调区间 例1已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在 处取得极值. (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点五,令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4. 当x0,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点五,思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间? 解题心得1.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点五,对点训练1已知函数f(x)= x2-2aln x+(a-2)x,当a0时,讨论函数f(x)的单调性.,当02时,f(x)0;-a2,即a-a时,f(x)0;2x-a时,f(x)0, f(x)在(0,2),(-a,+)内单调递增,在(2,-a)内单调递减. 综上所述,当a=-2时,f(x)在(0,+)内单调递增;当-2a0时,f(x)在(0,-a),(2,+)内单调递增,在(-a,2)内单调递减;当a-2时,f(x)在(0,2),(-a,+)内单调递增,在(2,-a)内单调递减.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,函数单调性的应用(多考向) 考向1 利用函数单调性比较大小,解析:由f(x)=f(2-x),得函数f(x)的图象关于直线x=对称,令g(x)=f(x)cos x,则g(x)=f(x)cos x-f(x)sin x0, 所以当0x时,g(x)在(0,)内递增,A,思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考向2 利用函数单调性求参数的范围 例3(1)已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在-1,1上是减函数,则a的取值范围是( ),C,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,思考如何利用函数的单调性求参数的范围? 解题心得1.比较大小时,根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较. 2.利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定,若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到;若已知函数不等式求参数范围,先求函数的导数,确定函数的单调性,再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围;也可以根据条件采取分离参数法.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,A,C,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,求函数的极值 例4(2017全国)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,A,解析:由题意可得, f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点, 所以f(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1, 故选A.,思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,反之,若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,3.利用导数研究函数极值的一般流程:,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,求函数的最值 例5(2017河北衡水中学调研)已知a,bR,且exa(x-1)+b对xR恒成立,则ab的最大值是( ),A,解析:令f(x)=ex-a(x-1)-b,则f(x)=ex-a, 若a=0,则由f(x)=ex-b-b0,得b0,此时ab=0; 若a0,知函数单调增,x-, 此时f(x)-,不可能恒有f(x)0. 若a0,由f(x)=ex-a=0,得极小值点x=ln a, 由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a), aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a),考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,思考求函数的最值可划分为哪几步? 解题心得求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,对点训练4(2017湖南衡阳三次联考,文11)已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是( ) A.ln ab-1 B.ln ab-1 C.ln a=b-1 D.以上都不对,B,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,已知极值或最值求参数范围 例6(2017福建泉州一模,文12)若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2 (0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是( ),C,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,思考已知极值或最值如何求参数的范围? 解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,D,解析:当x2时,函数图象的对称轴方程为x=a, f(2)是函数f(x)的最小值,a2.,f(x)0, f(e)是函数的极小值.f(2)是函数f(x)的最小值, f(e)f(2),-1a6, 2a6.故选D.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,高频小考点导数法求参数的取值范围,答案:C,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,典例2(2015全国)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是( ),答案:D 解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x). 因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线. 如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象. 显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,典例3(2014全国,文12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是 ( ) A.(2,+) B.(1,+) C.(-,-2) D.(-,-1) 答案:C,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,典例4(2014全国,文11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,+) 答案:D,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,D,考点一,考点二,考点三,考点四,学科素养微专题,考点五,
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