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,第2节 计数原理、排列与组合的综合应用,基 础 梳 理,1两个计数原理的综合应用 对于一些较为复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，一般采用先分类后分步的策略,2排列组合常见的解题策略 (1)特殊元素优先安排策略； (2)合理分类与准确分步策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列)； (4)正难则反，等价转化策略；,(5)相邻问题捆绑处理策略； (6)不相邻问题插空处理策略； (7)定序问题除法处理策略； (8)“小集团”排列问题先整体后局部策略； (9)构造模型的策略,1如图所示为一电路图，从A到B共有_条不同的线路可通电( ) A18 B8 C9 D15,解析：先分步后分类，共有不同的线路为3(32)15条故选D. 答案：D,2已知5个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建3号子项目，则不同的承建方案共有( ) A4种 B16种 C64种 D96种,答案：D,3电视台在直播2013年莫斯科大学生运动会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的运动会宣传广告，要求最后播放的是运动会宣传广告，且2个运动会宣传广告不能连播则不同的播放方式的种数为( ) A120 B48 C36 D18 答案：C,4某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参加活动的方案共有_种(用数字作答) 答案：120,考 点 突 破,例1 如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有_种(以数字作答),计数原理的综合应用,思维导引 法一 可分两大步进行，先将四棱锥一侧面上的三个顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色方法种数，用分步乘法计数原理可得染色方法总数；法二 按SABCD的顺序染色；法三 可按所用颜色种数分类,解析 法一 由题意，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法 当S、A、B染色确定时，不妨设其颜色分别为1、2、3，设另外两种颜色为4,5，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B染色确定时，C、D有7种染法 故不同的染色方法有607420(种),法二 第一步，S点染色，有5种方法； 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；,第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法，由分步乘法计数原理知，有54313180(种)方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法，则有54322240(种)方法 由分类加法计数原理得不同的染色方法共 180240420(种),法三 第一类，5种颜色全用，共有54321120(种)不同的染色方法； 第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有54325432240(种)不同的染色方法； 第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有54360(种)不同的染色方法； 由分类加法计数原理，得不同的染色方法共有 12024060420(种) 答案 420,利用两个计数原理解决计数问题时，要注意以下几个方面： (1)对于复杂的问题，可借助列表、画图的方法将其分解为两个计数原理的应用问题； (2)先分类后分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3)分类时要不重不漏； (4)分步时要步骤完整,即时突破1 已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同的点有( ) A18个 B16个 C14个 D10个,解析：(1)设aM，bN. a为横坐标，b为纵坐标，则由题意知，b0，故a的选取有3种；b只有5,6两种选法，由分步计数原理可知，满足条件的点有326个 a为纵坐标，b为横坐标 由题意a0，则b的选法有4种，a的选法有2种 由分步计数原理知，满足条件的点有428个 由分类计数原理得，满足条件的点共有6814个 故选C.,例2 (1)(2013年高考浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答) (2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( ) A240 B204 C729 D920,计数原理与排列(或组合)的综合问题,思维导引 (1)根据位置的对称性分为C在第一或第六位置、C在第二或第五位置与C在第三或第四位置三类求解 (2)根据a3是否为0，a1与a3是否相等进行分类，利用分类加法计数原理求解,答案 (1)480 (2)A,解决计数原理与排列(或组合)综合问题时首先根据题意确定是分类还是分步解决，然后确定每一类(或步)是排列问题还是组合问题，先分别求解，再由计数原理最终求解,即时突破2 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字且比20000大的五位偶数共有( ) A48个 B36个 C24个 D18个,例3 (1)(2014云南省玉溪市毕业班检测)从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( ) A51个 B54个 C12个 D45个,排列与组合的综合应用,(2)(2014吉林省白山市模拟)现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件，下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( ) A420种 B560种 C840种 D20160种 思维导引 (1)依据选取的数字中是否含有2,3进行分类；(2)保持商品的相对顺序不变可以利用依次插空法求解,(1)解决排列组合应用题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准 (2)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同,即时突破3 (2013年高考山东卷)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A243 B252 C261 D279,特殊元素(位置)优先安排法 典例 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( ) A360 B288 C216 D96,分析：分两步计算第一步：计算满足3位女生中有且只有两位相邻的排法将3位女生分成两组，插空到排好的3位男生中 第二步：在第一步的结果中排除甲站两端的排法,该题涉及到两个特殊条件：“甲不站两端”与“3女生中有且只有两位女生相邻”，显然对于“甲不站两端”这类问题可利用间接法求解，将其转化为“甲站两端”的问题，要优先安排甲，然后再安排其他元素；对于“三位女生中有且只有两位女生相邻”中的相邻问题利用捆绑法，而不相邻问题可以利用插空法求解,
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