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第十篇 计数原理与概率、 随机变量及其分布,第1节 计数原理、排列与组合,基 础 梳 理,1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,mn,mn,质疑探究1：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理,2排列与组合,按照,一定的顺序排成一列,所有不同排列的个数,合成,一组,所有不同组合的个数,(nm1),1,质疑探究2：如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？ 提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题；若与顺序无关，则是组合问题,14封不同的信投入3个不同的信箱中，所有投法的种数是( ) A7 B12 C34 D43 解析：根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有333334(种)投法，故选C. 答案：C,2从3名男同学和4名女同学中选2人分别担任学生会主席和副主席，则不同的选法种数为( ) A7 B21 C42 D12 答案：C,答案：B,4有5张卡片分别写有数字1、2、3、4、5. (1)从中任取4张，共有_种不同取法； (2)从中任取4张，排成一个四位数，共组成_个不同的四位数 答案：(1)5 (2)120,考 点 突 破,思维导引 由方程表示焦点在y轴上的椭圆可知0mn，而m、n是两个集合中的不同元素，故可以根据m的取值进行分类讨论,分类加法计数原理,解析 以m的值为标准分类，分为五类第一类：m1时，使nm，n有6种选择；第二类：m2时，使nm，n有5种选择；第三类：m3时，使nm，n有4种选择；第四类：m4时，使nm，n有3种选择；第五类：m5时，使nm，n有2种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个 答案 20,(1)运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键 (2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：根据问题的特点确定一个适合的分类标准；完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,解析：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则mn0. 以m的取值进行分类 (1)当m1时，n值不存在； (2)当m2时，n可取1，只有1种选择；,(3)当m3时，n可取1,2，有2种选择； (4)当m4时，n可取1,2,3，有3种选择； (5)当m5时，n可取1,2,3,4，有4种选择； 由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个 答案：10,例2 已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则 (1)P可表示平面上_个不同的点； (2)P可表示平面上_个第二象限的点 思维导引 对点P的确定应分步完成，即先确定横坐标，再确定纵坐标，因此本题用分步乘法计数原理,分步乘法计数原理,解析 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636.,(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是 326. 答案 (1)36 (2)6,利用分步乘法计数原理解决问题时要注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序 (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件 (3)对完成各步的方法数要准确确定,即时突破2 (2012年高考大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A12种 B18种 C24种 D36种 解析：利用分步乘法计数原理，先填最左上角的数，有3种，再填最右上角的数，有2种，再填写第二行第一列的数，有2种，一共有32212(种) 故选A.,例3 有5个同学排队照相 (1)甲在中间的排法有多少种？ (2)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两个同学互不相邻的排法有多少种？ 思维导引 (1)甲在中间，则其余4人在甲两侧的4个位置中进行全排即可；(2)甲、乙相邻，利用捆绑法，先排甲、乙，然后看作一个整体与其他三人全排即可；(3)甲、乙两人不相邻，则先排其余三人，形成四个空，然后甲、乙两人插空排列即可,排列的应用问题,求解排列应用问题的主要方法,即时突破3 2013年世界大学生运动会在俄罗斯的喀山市举行，已知火炬传递在A、B、C、D、E、F六个城市之间进行，以A为起点，F为终点，B与C必须接连传递，E必须在D的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有_种,例4 某课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依据下列条件各有多少种选法？ (1)只有2名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选,组合的应用问题,思维导引 (1)先选2名女生，再选3名男生；(2)两队长当选，则只需从其他11名队员中选3人；(3)可根据参选的队长数进行分类，也可利用间接法求解；(4)根据参选女生人数进行分类,组合问题常有以下两类题型： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理,即时突破4 (2013年高考重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答) 答案：590,分类混淆、计数原理使用不当致误 典例 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A10 B11 C12 D15,分析：信息“0110”是一个四位数字，此类“至多”、“至少”类型的问题可以直接利用分类讨论的方法求解，也可转化为其反面的问题，利用间接法求解,
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