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,不等式选讲,第十二章,第60讲 不等式的证明,栏目导航,ab,1,2综合法与分析法 (1)综合法:证明不等式时,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过_而得出命题成立,综合法又叫顺推证法或由因导果法 (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的_,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立这是一种_的思考和证明方法,推理论证,充分条件,执果索因,3反证法 先假设要证的命题_,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的_,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)_的结论,以说明假设_,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法 4放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地_或_以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法,不成立,推理,矛盾,不正确,放大,缩小,5数学归纳法 数学归纳法证明不等式的一般步骤: (1)证明当_时命题成立; (2)假设当_ (kN*,且kn0)时命题成立,证明_时命题也成立 综合(1)(2)可知,结论对于任意nn0,且n0,nN*都成立,nn0,nk,nk1,1思维辨析(在括号内打“”或“”) (1)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”. ( ) (2)若实数x,y适合不等式xy1,xy2,则x0,y0.( ) (3)不等式|xa|xb|c恒成立的充要条件是|ab|c.( ) (4)不等式|xa|xb|c恒成立的充要条件是|ab|c.( ),D,B,4若直线3x4y2,则x2y2的最小值为_,最小值点为_., .,比较法证明不等式的步骤 (1)作差(商);(2)变形;(3)判断差的符号(商与1的大小关系);(4)下结论其中“变形”是关键,作差比较法中通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负,一 比较法证明不等式,二 分析法和综合法证明不等式,分析法和综合法证明不等式的技巧 证明不等式,主要从目标式的结构特征,综合已知条件,借助相关定理公式探索思路,如果这种特征不足以明确解题方法时,就应从目标式开始通过“倒推”分析法,寻找目标式成立的充分条件直至与已知条件吻合,然后从已知条件出发综合写出证明过程,【例2】 (2017全国卷)已知a0,b0,a3b32.证明: (1)(ab)(a5b5)4; (2)ab2.,三 柯西不等式的应用,柯西不等式应用的常见类型及解题策略 (1)求表达式的最值依据已知条件,利用柯西不等式求最值,注意等号成立的条件 (2)证明不等式注意所证不等式的结构特征,寻找柯西不等式的条件,然后证明,【例3】 (1)已知实数a,b,c,d满足abcd3,a22b23c26d25,求证:1a2. (2)若x2y3z6,求x2y2z2的最小值,D,P3,易错点 混淆恒成立问题、无解问题和有解问题,【跟踪训练1】 设f(x)|ax1|. (1)若f(x)2的解集为6,2,求实数a的值; (2)当a2时,若存在xR使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立,求实数m的取值范围,
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