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第3节 一元二次不等式及其解法,.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 .通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系 .会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图,整合主干知识,1一元二次不等式及标准形式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式，其标准形式为ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，其中a0.,2一元二次不等式ax2bxc0(a0)的求解过程用程序框图表示为,3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：,x|xx1，,x|xx1,x|x1_xx2,或xx2,(xa)(xb)0,解析：原不等式化为(x1)(x2)0，解得2x1，故原不等式的解集为(2,1) 答案：C,答案：C 提示：一元二次不等式区间的端点值为对应方程的根,答案：A,解析：由x2x120得(x3)(x4)0， x4或x3. 答案：(，43，),5已知不等式x22xk210对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_,提示：取值范围，定义域、值域解集应用集合或区间表示,聚集热点题型,思路点拨 (1)将分式不等式转化为整式不等式求解(2)对参数a与0,1的关系分类讨论求解,一元二次不等式的解法,名师讲坛 (1)分式不等式可转化为整式不等式求解,(2)在解含参数的不等式时，应注意分类讨论，其分类标准一般有三种：按二次项系数分为a0和a0(有时需分a0与a0，0，0时，按两根的大小进行分类,变式训练 1(1)不等式ax2bxc0的解集为x|20的解集为_ 解析：令f(x)ax2bxc，则f(x)ax2bxc，结合图象，可得ax2bxc0的解集为x|3x2 答案：x|3x2,(2)解关于x的不等式ax222xax (aR),典例赏析2 (1)若不等式mx22x10恒成立，则m的取值范围是_ (2)若关于x的不等式ax2x2a0的解集为，则实数a的取值范围是_ 思路点拨 (1)首先对不等式中二次项系数m讨论确定不等式类型然后求解；(2)题中条件等价于“关于x的不等式ax2x2a0恒成立”,与一元二次不等式有关的恒成立问题,名师讲坛 (1)解决恒成立问题一定要分清哪个为变量哪个为参数一般地，知道范围的为变量，所求量为参数,变式训练 2(1)若关于x的不等式x2axa0的解集为R，则实数a的取值范围是_ (2)若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_,解析：(1)由题意知a24a0， 解得4a0， 因此实数a的取值范围为4a0. (2)由题意知关于x的一元二次方程x2axa30有解， 因此有(a)24(3a)a24a120， 所以a6或a2. 因此实数a的取值范围为：a6或a2. 答案：(1)(4,0) (2)(，62，),典例赏析3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x (0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量,元二次不等式的实际应用,(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 思路点拨 (1)依据“年利润(出厂价投入成本)年销售量”写出；(2)年利润有所增加，即y(1210)10 0000，解此不等式即可得x的范围,名师讲坛 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键,变式训练 3某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点,(2)原计划税收为200a10%20a(万元) 依题意得a(1002x)(10x)20a83.2%， 化简得x240x840， 解得42x2. 又0x10， 0x2.,备课札记 _,提升学科素养,(理)数形结合思想在不等式问题中的应用,(注：对应文数热点突破之三十),若x0时，均有(a1)x1(x2ax1)0，则a_. 审题视角 当a1时，(a1)x10恒成立，而当a1时，f(x)(a1)x1与g(x)x2ax1均过点(0，1)，故可用数形结合思想解题,解析 (1)当a1时，对x0， 恒有(a1)x10， 恒有x2ax10，(*) 由于二次函数yx2ax1的图象开口向上， (*)式不恒成立， 即a1时，原不等式不会恒成立,方法点睛 (1)对于常规方法不易解决的不等式问题，可构造函数，利用数形结合的方法解决； (2)解决本题的关键点是：找到参数a分类讨论的标准；将不等式恒成立问题转化为两函数图象间的关系问题，借助函数图象特征，找到两函数零点的关系,(2013新课标全国卷高考)若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是( ) A(，) B(2，) C(0，) D(1，),答案：D,1一个技巧 若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2bxc0(或0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2，(x1x2)(此时b24ac0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集,2两点提醒 (1)解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏； (2)二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式,
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