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,第二章 函数、导数及其应用,第十二节 导数在研究函数中的应用(二),考情展望 1.利用导数解决生活中的优化问题.2.导数与方程、函数零点、不等式知识交汇命题，综合考查分析问题和解决问题的能力,精研析 巧运用 全面攻克,调研1 (2015长沙模拟)已知函数f(x)ex(x2axa)，其中a是常数 (1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围 解析 (1)由f(x)ex(x2axa)，可得 f(x)exx2(a2)x 当a1时，f(1)e，f(1)4e. 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.,考点一 导数在方程(函数零点)中的应用师生共研型,该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一,名师归纳类题练熟,好题研习,考点二 导数在不等式中的应用师生共研型,使用导数方法证明不等式或者研究在一定条件下的不等式问题，基本方法是通过研究函数性质进行，这里首先要实现问题的转化，即把不等式问题转化为函数的性质问题，构造函数h(x)f(x)g(x)，再使用导数方法研究函数的性质，如函数的单调性、函数的最值、函数的值域等本题是把比较大小的两个式子构造成函数关系，进行求导确定函数的单调性，进而求得最终结论,名师归纳类题练熟,设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.,好题研习,故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值， 极小值为f(ln 2)2(1ln 2a) (2)证明：设g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知，当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR，都有g(x)0， 所以g(x)在R上单调递增 于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.,考点三 利用导数解决实际生活中的优化问题 师生共研型,令h(x)0，得x80. 当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数， 当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25. h(x)在(0,120上只有一个极值，11.25是最小值 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x) (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值 (4)回归实际问题作答 提醒：对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点,自我感悟解题规律,好题研习,学方法 提能力 启智培优,所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 该思想在利用导数研究函数中的应用具体体现在以下三个方面： (1)与恒成立有关的参数范围问题； (2)用导数研究函数的零点问题； (3)证明不等式问题,思想方法 转化与化归思想在利用导数研究函数中的应用,典例 (2014浙江)已知函数f(x)x33|xa|(a0)若f(x)在1,1上的最小值记为g(a) (1)求g(a)； (2)证明：当x1,1时，恒有f(x)g(a)4. 规范解答 解：(1)由a0，1x1， 当0a1时， 若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(1，a)上是减函数； 若xa,1，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(a,1)上是增函数 所以g(a)f(a)a3.,若x1，a，h(x)x33x3aa3，得h(x)3x23，则h(x)在(1，a)上是减函数，所以h(x)在1，a上的最大值是h(1)23aa3. 令t(a)23aa3，则t(a)33a20， 知t(a)在(0,1)上是增函数，所以t(a)t(1)4，即h(1)4. 故f(x)g(a)4. 当a1时，g(a)23a，故h(x)x33x2，得h(x)3x23， 此时h(x)在(1,1)上是减函数，因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4. 故f(x)g(a)4. 综上，当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.,跟踪训练 已知函数f(x)x3ax2a2xm(a0) (1)若a1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围； (2)若对任意的a3,6，不等式f(x)1在2,2上恒成立，求实数m的取值范围,名师指导,
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