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,第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布,第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,考情展望 1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.2.多以选择题、填空题形式考查,固本源 练基础 理清教材,1两个计数原理,基础梳理,1判断正误，正确的打“”，错误的打“” (1)在分类加法计数原理中，每类方案都可完成这件事情( ) (2)分类加法计数原理是对要做的事情分成若干类，每一类中若干种方法都能独立地完成这件事情( ) (3)分步乘法计数原理是对要做的事情分成若干个步骤，每个步骤只是完成这件事情的一个环节，只有这些步骤都完成了，这件事才算完成( ) (4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( ),基础训练,答案：(1) (2) (3) (4),24封不同的信投入3个不同的信箱中，所有投法的种数是( ) A7 B.12 C34 D.43,解析：根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有333334(种)投法,4甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A6种 B.12种 C24种 D.30种,解析：分步完成，首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有43224(种)，故选C.,5如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为_,答案：84,解析：分两类：A，C种同种花有43336种不同的种法；A，C种不同种花有432248种不同的种法故共有364884种不同的种法,精研析 巧运用 全面攻克,调研1 (1)(2015临沂模拟)设I1,2,3,4，A与B是I的子集，若AB1,3，则称(A，B)为一个“理想配集”(规定(A，B)与(B，A)是两个不同的配集)那么符合此条件的“理想配集”的个数是( ) A4 B.8 C9 D.16 答案 C,考点一 分类加法计数原理自主练透型,解析 要使AB1,3，则集合A，B中必须有1,3这两个元素，并且只能有这两个相同的元素，于是有如下的可能：(1)A1,3，则B可以是1,3，1,2,3，1,3,4，1,2,3,4中的任意一个，共4个；(2)A1,2,3，则B可以是1,3，1,3,4中的一个，共2个；(3)A1,3,4，则B可以是1,3，1,2,3中的一个，共2个；(4)A1,2,3,4，则B只能是1,3所以符合条件的“理想配集”的个数是42219.故选C.,1运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键 2要准确把握分类加法计数原理的两个特点：(1)根据问题的特点确定一个适合的分类标准；(2)完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 提醒：对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法,自我感悟解题规律,调研2 已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，b M)表示平面上的点，则 (1)P可表示平面上_个不同的点； (2)P可表示平面上_个第二象限的点 答案 (1)36 (2)6,考点二 分步乘法计数原理的经典题型师生共研型,解析 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636. (2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是326.,名师归纳类题练熟,1设集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定义A*B(x，y)| xAB，yAB，则A*B中元素的个数是( ) A7 B.10 C25 D.52,好题研习,解析：由题意知本题是一个分步乘法计数原理，因为集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3)，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得2510.故选B.,2用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答),答案：14,考情 两个计数原理在高考中一般是联合在一起出题，一般都是先分类再分步，以选择题或填空题的形式出现,考点三 两个计数原理的综合应用高频考点型,提醒：分类要做到“不重不漏”；分步要做到“步骤完整”,热点破解通关预练,1如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( ) A240 B.204 C729 D.920,好题研习,解析：分8类： 当中间数为2时，有122(个)； 当中间数为3时，有236(个)； 当中间数为4时，有3412(个)；,当中间数为5时，有4520(个)； 当中间数为6时，有5630(个)； 当中间数为7时，有6742(个)； 当中间数为8时，有7856(个)； 当中间数为9时，有8972(个)； 故共有26122030425672240(个),2(2015海南万宁月考)从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答),答案：18 6,解析：一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有二次函数33218(个)若二次函数为偶函数，则b0，由分步乘法计数原理，知偶函数共有326(个),学方法 提能力 启智培优,涂色问题是两个基本原理和排列、组合知识的综合运用所产生的一类问题 1条形区域涂色问题 (1)可根据分步乘法计数原理，对各个区域分步涂色； (2)可根据一共用了多少种颜色进行分类讨论； (3)可根据两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,技巧方法 如何解决涂色问题,典例1 用红、黄、蓝三种颜色给如图的16格子涂色，若每种颜色只能涂2个格子，相邻格子所涂颜色不能相同，则涂颜色的方法共计有( ) A.36种 B.30种 C.18种 D.40种 答案 B,2环形区域涂色问题 涂色问题的关键是颜色的数目和不相邻区域内可以使用同一种颜色，具体操作时考虑前一区域涂色情形影响后一区域的涂色 典例2 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使相同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种(以数字作答) 解题策略 颜色可以反复使用，即在不相邻区域可以使用同一种颜色，至少要选用3种颜色，按照颜色的种数分类解决或是按照区域进行操作，根据分步乘法计数原理解答,答案 72,3点线面的涂色问题 这类问题有两个思路，一个是根据相似顶点(或线段、平面)是否同色分类讨论，另一个是将空间问题转化为平面区域涂色问题 典例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果有5种颜色可以使用，那么不同的染色方法种数是_(以数字作答) 答案 420,跟踪训练 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有_种不同的涂色方法,答案：260,名师指导,
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