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,第7节 二项分布与正态分布,基 础 梳 理,1条件概率及其性质,事件A,事件B,P(B|A)P(C|A),P(A)P(B),B,质疑探究1：“相互独立”和“事件互斥”有何不同？ 提示：(1)两事件互斥是指在一次试验中两事件不能同时发生；而相互独立是一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 (2)若A、B独立，则P(AB)P(A)P(B)；若A、B互斥，则P(AB)P(A)P(B),3独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 一般地，在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,相同,(2)二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)_(k0,1,2，n) 此时称随机变量X服从二项分布，记作_，并称 为成功概率,XB(n，p),p,质疑探究2：独立重复试验的条件是什么？ 提示：(1)每次试验都是在同样的条件下进行的；(2)各次试验中的条件是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果；(4)在任何一次试验中，事件发生的概率均相等,4两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X) ，D(X) (2)若XB(n，p)，则E(X) ，D(X) ,p,p(1p),np,np(1p),上方,x,x,1,当一定时，曲线的位置由_确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图(1)所示； 当一定时，曲线的形状由确定，_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示,越小,越大,(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P( X)0.6826； P(2 X2)0.9544； P(3 X3)0.9974.,答案：B,3设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有( ) A12 C12，12，12,考 点 突 破,例1 (2013年高考陕西卷)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手,相互独立事件同时发生的概率,(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望 思维导引 (1)先分别求出甲选3号歌手、乙未选3号歌手的概率，然后利用相互独立事件同时发生的概率求所求概率；(2)首先由题意确定X的可能取值，搞清每个取值所对应的事件，然后利用相互独立事件和互斥事件的概率求分布列，最后代入期望公式求解,(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算，即正难则反的思想方法； (2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有,即时突破1 (2014河南郑州高三检测)为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统，鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下： 租用时间不超过1小时，免费； 租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元； 租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；,租用时间超过3小时，按每小时2元收费(不足1小时的部分按1小时计算) 甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2. (1)求甲、乙两人所付租车费相同的概率； (2)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望E(),解：(1)设甲、乙所付租车费分别为x1，x2由题意可知 p(x10)0.5，p(x11)0.4，p(x12)0.1， p(x20)0.6，p(x21)0.2，p(x12)0.2， p(x1x2)0.50.60.40.20.10.20.4. (2)由题意得变量的所有取值为0,1,2,3,4. p(0)0.50.60.3， p(1)0.50.20.60.40.34， p(2)0.50.20.60.10.40.20.24， p(3)0.40.20.20.10.1， p(4)0.10.20.02，,所以的分布列为： E()00.310.3420.2430.140.021.2.,例2 某商场一号电梯从1层出发后可以在2,3,4层停靠已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2,3,4层下电梯是等可能的 (1)求这4位乘客中至少有一位乘客在第2层下电梯的概率； (2)用X表示这4位乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望,独立重复试验与二项分布,二项分布满足的条件： (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的 (2)各次试验中的事件是相互独立的 (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数,例3 已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 思维导引 正态曲线的对称轴是x2，再根据正态分布的性质及P(4)0.8，数形结合求解,正态分布,法二 P(4)0.2. 由题意知图象的对称轴为直线x2， P(4)0.2. 又P(2)0.5， P(02)P(2)P(0)0.50.20.3，故选C.,服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上正态曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，因此常利用图形的对称性求概率,即时突破3 (2014黑龙江省哈师大附中第三次模拟)已知随机变量服从正态分布N(1，2)，且P(2)0.8，则P(01)等于( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6,解析：N(1，2)， P(1)P(1)0.5. 又P(2)0.8， P(12)0.80.50.3， 由正态曲线的对称性可知 P(01)P(12)0.3. 故选B.,(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列 分析：(1)所求事件是独立重复试验，只须代入公式求解即可；(2)“3次连续击中”而不是“击中3次”，故所求事件概率应为相互独立事件同时成立的概率；(3)先求出总的分数的所有可能取值，确定对应事件，求其概率，最后列出分布列,易错提醒：该题易出现的问题有两个，一是混淆(2)中所求事件与“3次击中，2次未击中”的区别，利用独立重复试验求解；二是(3)中没有准确把握题意，的取值和对应概率求解错误，解决此类问题，一定要区分相互独立事件与独立重复试验，避免错用公式,
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