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,第4节 随机事件的概率,基 础 梳 理,1随机事件的含义 (1)必然事件：在一定条件下， 发生的事件； (2)不可能事件：在一定条件下， 发生的事件； (3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件,一定会,一定不会,频数,质疑探究1：概率与频率有什么关系？ 提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率,3事件的关系与运算,BA,不可能,不可能,质疑探究2：互斥事件和对立事件有什么区别和联系？ 提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥也就是说，两事件对立是两事件互斥的一种特殊情况,4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率P(E)1. (3)不可能事件的概率P(F)0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB) 若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)1P(B),0P(A)1,P(A)P(B),1在下列事件中，随机事件是( ) A物体在只受重力作用下会自由下落 B若x是实数，则|x|b，则ab0，且a1)是R上的增函数,解析：选项A中的事件为必然事件，选项B中的事件为不可能事件，选项C中的事件为不可能事件，选项D中的事件当a1时，发生；0a1时，不发生，为随机事件，故选D. 答案：D,2从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A至少有一个是红球，至少有一个是绿球 B恰有一个红球，恰有两个绿球 C至少有一个红球，都是红球 D至少有一个红球，都是绿球,解析：选项A、C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件故选B. 答案：B,答案：A,考 点 突 破,例1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如表所示：,随机事件的频率与概率,(1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 思维导引 (1)利用频率的计算公式分别求出相应的频率；(2)由概率的定义分析所求各频率所趋向的定值，即看作概率,解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次为0.900,0.920，0.970，0.940,0.954,0.951. (2)把这批乒乓球的数量看成很大的数，则这批乒乓球的优等品的频率就可看成是任取一个乒乓球为优等品的概率，约为0.950.,(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率,即时突破1 如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：,(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径,解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444人，故用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为：,(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站 由(2)知P(A1)0.10.20.30.6， P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)， 甲应选择L1， P(B1)0.10.20.30.20.8， P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)， 乙应选择L2.,例2 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； (2)“至少有1件次品”和“全是次品”； (3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品” 思维导引 分析事件的性质，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断,互斥事件与对立事件的判断,解 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：3件全是正品，2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品 (1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件,(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件 (3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件,判断是否为互斥事件的关键是看两个事件能否同时发生；两个事件为对立事件的前提是两事件互斥，且必有一个事件发生具体应用时，可把试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所给两事件之间的关系,即时突破2 袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为( ) A B C D,解析：结合互斥事件与对立事件的定义进行判断从3个白球，4个黑球的袋中任取3个球共有全是白球、2白1黑、1白2黑、全黑四种情况中恰有1个白球，即1白2黑与3球全是白球互斥而不对立；中至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与3球全是黑球是对立事件；至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与至少有2个白球，即2白1黑、3白既不互斥又不对立；中至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与至少有1个黑球，即1黑2白、2黑1白、3黑也既不互斥又不对立，故选B.,例3 某战士射击一次，问： (1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？ (2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？ 思维导引 (1)中靶与不中靶为对立事件；(2)先分析“至少命中8环”、“不够9环”所包含的互斥事件，然后利用互斥事件概率公式求解,互斥事件与对立事件的概率,求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算,即时突破3 经过统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下： (1)求至多2人排队等候的概率是多少？ (2)求至少3人排队等候的概率是多少？,解：设Ai有i人排队等候，i0,1,2,3， B至多2人排队等候，C至少3人排队等候， (1)P(B)P(A0)P(A1)P(A2)0.10.160.30.56. (2)P(C)1P(B)10.560.44.,(1)“取出1球为红球或黑球”的概率； (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率 分析：由题意知，事件A、B、C、D彼此为互斥事件，因此可用互斥事件的概率加法公式求解；也可将其转化为对立事件的概率求解,在数学中，如果从正面思考较复杂，甚至无法解决的就考虑从反面去思考，对于求一个事件发生的概率，如果从正面较困难或较繁琐，就考虑求其对立事件概率，由互为对立事件的概率和为1而求解,
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