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第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 .能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题,整合主干知识,分类加法计数原理与分步乘法计数原理,两类不同方案,需要两个步骤,质疑探究：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理,1从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为( ) A6 B5 C3 D2 解析：“完成这件事”即选出1人当主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有325种不同的选法 答案：B,24封不同的信投入3个不同的信箱中，所有投法的种数是( ) A7 B12 C34 D43 解析：根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有333334(种)投法 答案：C,答案：B,4甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A6种 B12种 C24种 D30种 解析：分步完成首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有43224(种)，故选C. 答案：C,5有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是_ 解析：先选上衣，从4件上衣中选一件有4种，第二步选长裤，从3条长裤中选一条有3种，由分步乘法原理可知有4312种配法 答案：12,聚集热点题型,解析 以m的值为标准分类，分为五类第一类：m1时，使nm，n有6种选择；第二类：m2时，使nm，n有5种选择；第三类：m3时，使nm，n有4种选择；第四类：m4时，使nm，n有3种选择；第五类：m5时，使nm，n有2种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个 答案 20,分类加法计数原理,解析：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则mn0. 以m的取值进行分类 (1)当m1时，n值不存在； (2)当m2时，n可取1，只有1种选择； (3)当m3时，n可取1,2，有2种选择； (4)当m4时，n可取1,2,3，有3种选择； (5)当m5时，n可取1,2,3,4，有4种选择； 由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个 答案：10,拓展提高 (1)运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键,(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：根据问题的特点确定一个适合的分类标准；完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 提醒 对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法,变式训练 1(2015临沂模拟)A与B是I1,2,3,4的子集，若AB1,2，则称(A，B)为一个理想配集，若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是( ) A4 B8 C9 D16,解析：对子集A分类讨论当A是二元集1,2，B可以为1,2,3,4，1,2,4，1,2,3，1,2共4种情况；当A是三元集1,2,3，B可以取1,2,4，1,2共有2种情况；当A是三元集1,2,4，B可以取1,2,3，1,2，共有2种情况；当A是四元集1,2,3,4，此时B取1,2有1种情况，根据分类加法计数原理得42219种，故符合此条件的“理想配集”有9个 答案：C,典例赏析2 已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则 (1)P可表示平面上_个不同的点； (2)P可表示平面上_个第二象限的点. 解析 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636.,分步乘法计数原理,(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是326. 答案 (1)36 (2)6,拓展提高 利用分步乘法计数原理解决问题时要注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序,(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件 (3)对完成各步的方法数要准确确定,变式训练 2(1)设集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数是( ) A7 B10 C25 D52 (2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答) 解析：(1)由题意知本题是一个分步乘法计数原理，因为集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1, 0,1,2,3，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得2510.故选B.,(2)法一：用2,3组成四位数共有222216(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16214(个) 法二：满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个；第二类含有三个2，一个3共有4个；第三类含有二个2，二个3共有C6(个)，因此满足条件的四位数共有24C14(个) 答案：(1)B (2)14,典例赏析3 (1)(2015福州模拟)某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有_种不同的选法 (2)(2015许昌模拟)从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为_,两个原理的综合应用,解析 (1)分三类：高一、高二各一人，共有5630种选法；高一、高三各一人，共有5420种选法高二、高三各一人，共有6424种选法由分类加法计数原理，共有30202474种选法 (2)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0. 不取1时，分两步： 第一步：取底数，5种； 第二步：取真数，4种，其中log23log49，log32log94, log24log39，log42log93，所以不同的对数的值的个数为154417. 答案：(1)74 (2)17,(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析,拓展提高 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步 (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数,变式训练 3(2015银川模拟)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选取3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法是_ 解析：若黄瓜种在第一块土地上，则有3216种不同种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3216种，故不同的种植方法共有66618(种) 答案：18,备课札记 _,提升学科素养,(理)应用两个计数原理求解涂色问题,如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为_,审题视角 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题 解析方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法,当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420(种) 方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色 第一步，S点染色，有5种方法； 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；,第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种) 方法三 按所用颜色种数分类 第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；,第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2A种不同的方法； 第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A种不同的方法 由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为 A2AA420(种) 答案 420,创新点拨 两个计数原理综合应用的重点题型与求解策略：,用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有_种不同的涂色方法 解析：如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.,当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法由分步乘法计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法； 当第2 个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480(种)不同的涂法 由分类加法计数原理可得， 共有18080260(种)不同的涂法 答案：260,1两个原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终,(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类 (2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，构成完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”,2两点提醒 (1)分类时，标准要明确，应做到不重不漏 (2)分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取,
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