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专题一,第 四讲,思想方法概述,应用角度例析,通法归纳领悟,专题专项训练,角度一,角度二,角度三,角度四,1转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 2转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题,(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的 (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题 (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题,(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求 (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行 解决 (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA使原问题获得解决，体现了正难则反的原则,一般与特殊的转化,(1)有些数学题具有一般性，有的具有特殊性.解题时，有时需要把一般问题化为特殊问题，有时需要把特殊问题化为一般问题.其模式是：首先假设使问题特殊(或一般)化，降低难度，然后再解这个特殊(或一般)性的问题，从而使原问题获解. (2)本例是用特殊法求解，简单、迅速，当选择题或填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只要把题中的参变量用特殊值代替，即一般化为特殊，即可得到结论.,1(2012江西高考)等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1. 若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5_.,答案：11,答案：1,例2 (1)(2012青岛模拟)设x，y为实数，若4x2y2 xy1，则2xy的最大值是_ (2)若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是_ 思路点拨 (1)可利用不等式将方程转化为只含2xy的不等式求解，但要注意取等号的充要条件 (2)可采用换元法，令t3x，将问题转化为关于t的方程有正解进行解决,等与不等的转化,等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效.,例3 (2012北京高考)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若xR，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_ 思路点拨 根据题意，可将问题转化为g(x)0的解集的补集是f(x)0的解集的子集求解 解析 由题易知当x1时，g(x)0，故要使对xR，f(x)0或g(x)0，只需在x1时，f(x)0恒成立即可,正向与逆向的转化,当m0时，f(x)0时，f(x)0， 因为x1，2m0，所以x2m0， 于是不等式转化为mx3， 又x1时，x34， 所以要使mx3在x1时恒成立，只需m4， 故4m0. 综上，4m0. 答案 (4,0),正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”情形的问题中.,4由命题“存在xR，使e|x1|m0”是假命题，得m的取值 范围是(，a)，则实数a的取值是 ( ) A(，1) B(，2) C1 D2 解析：选 命题“存在xR，使e|x1|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意xR，使e|x1|m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为 同一区间，故a1.,C,5若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1.在区间1,1 内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围是_,例4 对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px 4xp3成立的x的取值范围是_ 思路点拨 本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐，若以p为主元，即可将原问题化归为在区间0,4上，一次函数f(p)(x1)px24x30成立的 x的取值范围这样，借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决,常量与变量的转化,答案 (，1)(3，),在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.,6设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1axx2)f(2a) 对任意a1,1恒成立，求x的取值范围,“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下五条原则： 1熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题 2简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据,3和谐化原则 转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 4直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决,5正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原则对我们学习数学是非常有帮助的,
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