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专题一,第 一讲,思想方法概述,应用角度例析,通法归纳领悟,专题专项训练,角度一,角度二,角度三,角度四,角度五,1函数与方程思想的含义 (1)函数的思想： 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,(2)方程的思想： 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系,2函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点，解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函数yf(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)g(x)的解的问题可以转化为函数yf(x)与yg(x)的交点问题，也可以转化为函数yf(x)g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要,函数与方程思想在求最值及参数范围中的应用,答案 D,(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后解方程(组)求得. (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.,(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决. (4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决.,函数与方程思想在解决函数图像交点及方程根等问题中的应用,思路点拨 函数yf(x)的图像与yg(x)的图像有且仅有两个不同的公共点，即方程f(x)g(x)0有且仅有两个不同的实数根，故可构造方程，利用方程思想解决,答案 B,函数图像的交点问题转化为方程的根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用.,2方程x36x29x100的实根的个数为 ( ) A0 B1 C2 D3 解析：选 令f(x)x36x29x10， 则f(x)3x212x93(x1)(x3)， 当x(，1)和(3，)时，f(x)0，f(x)是增函数； 当x(1,3)时，f(x)0，f(x)是减函数 又f(1)6，f(3)10，f(5)10，故yf(x)有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实数根,B,答案：1,函数与方程思想在不等式中的应用,此类问题常根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，通过研究函数的单调性解决问题.,在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.,5已知不等式7x2(x21)m对m2,2恒成立，求实数 x的取值范围,函数与方程思想在数列中的应用,答案 C,(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”； (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解.),6已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699， 以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( ) A21 B20 C19 D18,B,C,函数与方程思想在解析几何中的应用,解析几何是借用坐标系用代数法研究几何图形的科学分支，用构造方程的方法解决解析几何问题非常简便，本题中的第(2)问用方程思想解决问题是非常典型的，要熟练掌握,应用函数与方程思想解决问题时应注意以下几个方面的思考和切入 (1)函数与不等式的相互转化对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要,(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解 (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,
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