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规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题,典例2 (12分)设函数f(x)emxx2mx. (1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增； (2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围.,规 范 解 答分 步 得 分,(1)证明 f(x)m(emx1)2x. 1分 若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0； 当x(0，)时，emx10，f(x)0. 若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0； 当x(0，)时，emx10，f(x)0. 4分 所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增. 6分,(2)解 由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增， 故f(x)在x0处取得最小值 所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是,设函数g(t)ette1，则g(t)et1. 9分,当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0. 故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增. 又g(1)0，g(1)e12e0，故当t1,1时，g(t)0. 当m1,1时，g(m)0，g(m)0，即式成立； 10分 当m1时，由g(t)的单调性，得g(m)0，即emme1； 当m1时，g(m)0，即emme1. 11分 综上，m的取值范围是1,1. 12分,构 建 答 题 模 板,第一步 求导数：一般先确定函数的定义域，再求f(x) 第二步 定区间：根据f(x)的符号确定函数的单调区间 第三步 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题 第四步 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立 第五步 再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.,评分细则 (1)求出导数给1分； (2)讨论时漏掉m0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f(x)符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f(x)在x0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分,解答,(1)求函数f(x)的单调区间和极值；,因此函数f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)， 极大值为f(1)1，无极小值.,解答,(2)若对任意的x1，恒有ln(x1)k1kx成立，求k的取值范围；,解 因为x1，,所以f(x1)maxk，所以k1.,证明,当且仅当x1时取等号 令xn2 (nN*，n2),
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