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规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题,典例1 (12分)已知函数f(x)ln xa(1x) (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围,规 范 解 答 分 步 得 分,若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.,所以当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，,(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；,令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0. 于是，当0a1时，g(a)0； 当a1时，g(a)0. 因此，a的取值范围是(0,1). 12分,构 建 答 题 模 板,第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数. 第二步 定符号：通过讨论确定f(x)的符号. 第三步 写区间：利用f(x)的符号写出函数的单调区间. 第四步 求最值：根据函数单调性求出函数最值.,评分细则 (1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)ln aa1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围，给2分.,跟踪演练1 (2017山东)已知函数f(x)x22cos x，g(x)ex(cos xsin x2x2)，其中e2.718 28是自然对数的底数. (1)求曲线yf(x)在点(，f()处的切线方程；,解 由题意知f()22. 又f(x)2x2sin x， 所以f()2. 所以曲线yf(x)在点(，f()处的切线方程为y(22)2(x). 即2xy220.,解答,(2)令h(x)g(x)af(x)(aR)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.,解答,解 由题意得h(x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x)， h(x)ex(cos xsin x2x2)ex(sin xcos x2)a(2x2sin x) 2ex(xsin x)2a(xsin x) 2(exa)(xsin x). 令m(x)xsin x， 则m(x)1cos x0， 所以m(x)在R上单调递增. 因为m(0)0， 所以当x0时，m(x)0；,当x0时，m(x)0. 当a0时，exa0， 当x0时，h(x)0，h(x)单调递减； 当x0时，h(x)0，h(x)单调递增， 所以当x0时，h(x)取到极小值， 极小值是h(0)2a1. 当a0时，h(x)2(exeln a)(xsin x)， 由h(x)0，得x1ln a，x20. (i)当0a1时，ln a0，,当x(，ln a)时， exeln a0，h(x)0，h(x)单调递增； 当x(ln a,0)时， exeln a0，h(x)0，h(x)单调递减； 当x(0，)时， exeln a0，h(x)0，h(x)单调递增. 所以当xln a时，h(x)取到极大值， 极大值是h(ln a)a(ln a)22ln asin(ln a)cos(ln a)2. 当x0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)2a1；,(ii)当a1时，ln a0， 所以当x(，)时，h(x)0， 函数h(x)在(，)上单调递增，无极值； (iii)当a1时，ln a0， 所以当x(，0)时，exeln a0，h(x)0， h(x)单调递增； 当x(0，ln a)时，exeln a0，h(x)0，h(x)单调递减； 当x(ln a，)时，exeln a0，h(x)0， h(x)单调递增. 所以当x0时，h(x)取到极大值，,极大值是h(0)2a1； 当xln a时，h(x)取到极小值， 极小值是h(ln a)a(ln a)22ln asin(ln a)cos(ln a)2. 综上所述， 当a0时，h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)2a1； 当0a1时，函数h(x)在(，ln a)和(0，)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)a(ln a)2 2ln asin(ln a)cos(ln a)2， 极小值是h(0)2a1；,当a1时，函数h(x)在(，)上单调递增，无极值； 当a1时，函数h(x)在(，0)和(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0)2a1，极小值是h(ln a)a(ln a)22ln asin(ln a)cos(ln a)2.,
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