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第2讲 不等式选讲,专题八 系列4选讲,热点分类突破,真题押题精练,热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)0)af(x)a. (3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.,例1 (2017届辽宁省葫芦岛协作体模拟)设函数f(x)|x2|x1|. (1)求不等式f(x)1的解集；,解答,解 f(x)|x2|x1|,思维升华,当x2时，f(x)31，得01恒成立，得x1. 故不等式f(x)1的解集为(0，).,思维升华 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.,(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解，求实数m的取值范围.,解答,解 由(1)可知，f(x)的最大值为3， 故f(x)4的最大值为7. 若关于x的不等式f(x)4|12m|有解， 只需7|12m|， 即72m17，求得m的取值范围为3,4.,思维升华,思维升华 用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.,跟踪演练1 (2017届河北省石家庄二中三模)已知不等式|xa|2x3| . (1)已知a2，求不等式的解集；,解答,解 当a2时，可得|x2|2x3|2，,(2)已知不等式的解集为R，求a的取值范围.,解答,可得3a1或a， 综上所述，a的取值范围是(3,1).,热点二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a|b|ab|a|b|. 2.算术几何平均不等式 定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立.,解答,证明,(2)若实数a，b，c满足a2b2c，求证：2(abc)10，并说明取等条件.,证明 2(abc)12(aba2b2)1,(ab1)20，,思维升华,思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧.,跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a，b为任意实数. (1)求证：a46a2b2b44ab(a2b2)；,证明,证明 a46a2b2b44ab(a2b2) (a2b2)24ab(a2b2)4a2b2 (a2b22ab)2(ab)4. 因为(ab)40， 所以a46a2b2b44ab(a2b2).,(2)求函数f(x)|2xa4(16a2b2b4)|2|x(2a3b2ab31)|的最小值.,解答,解 f(x)|2xa4(16a2b2b4)|2|x(2a3b2ab31)| |2xa4(16a2b2b4)|2x2(2a3b2ab31)| |2x2(2a3b2ab31)2xa4(16a2b2b4)| |(ab)41|1. 即f(x)min1.,热点三 柯西不等式的应用 柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立.,例3 (2017届贵州省贵阳市高三适应性考试)已知函数f(x)m|x1| (m0)，且f(x1)0的解集为3，3. (1)求m的值；,解答,解 因为f(x1)m|x|， 所以f(x1)0等价于|x|m， 由|x|m，得解集为m，m(m0)， 又由f(x1)0的解集为3,3，故m3.,证明,思维升华,又因为a，b，c是正实数，,所以a2b3c3.,思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为,解答,a3.,解答,真题体验,1.(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. (1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；,解答,1,2,解 当a1时，不等式f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当x1时，式化为x2x40，,1,2,(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围.,解答,解 当x1,1时，g(x)2， 所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于 当x1,1时，f(x)2. 又f(x)在1,1上的最小值必为f(1)与f(1)之一， 所以f(1)2且f(1)2，得1a1. 所以a的取值范围为1,1.,1,2,2.(2017全国)已知a0，b0，a3b32，证明： (1)(ab)(a5b5)4；,证明,证明 (ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2) 4ab(a2b2)24.,1,2,1,2,证明,(2)ab2.,证明 因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab),所以(ab)38， 因此ab2.,押题预测,解答,押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐.,1,2,1.已知函数f(x)|x2|2xa|，aR. (1)当a1时，解不等式f(x)4；,押题依据,解 当a1时，f(x)|x2|2x1|. 由f(x)4，得|x2|2x1|4. 当x2时，不等式等价于x22x14，,即x1，所以1x2；,解得x1，所以x1. 所以原不等式的解集为x|x1或x1.,1,2,解答,1,2,(2)若x0，使f(x0)|x02|3成立，求a的取值范围.,解 应用绝对值不等式，可得 f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|. 因为x0，使f(x0)|x02|3成立， 所以(f(x)|x2|)min3， 所以|a4|3，解得7a1， 故实数a的取值范围为(7，1).,押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点.本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值.,解答,1,2,押题依据,1,2,解 因为x，yR，xy4，,由基本不等式，得,当且仅当xy2时取等号.,1,2,只需不等式|a2|a1|1成立即可. 构造函数f(a)|a2|a1|， 则等价于解不等式f(a)1.,所以解不等式f(a)1，得a0. 所以实数a的取值范围为(，0.,证明,1,2,证明 因为x，yR，xy4， 所以y4x(0x4)， 于是x22y2x22(4x)2,
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