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5.2 空间中的平行与垂直,命题热点一,命题热点二,命题热点三,线线、线面平行或垂直的判定与性质 【思考】 判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些? 例1 (2017江苏,15)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD. 求证:(1)EF平面ABC; (2)ADAC.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,证明: (1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD, 所以EFAB. 又因为EF平面ABC,AB平面ABC, 所以EF平面ABC. (2)因为平面ABD平面BCD, 平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD, 所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD,所以BCAD. 又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC, 所以AD平面ABC. 又因为AC平面ABC,所以ADAC.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明. 2.要证明线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行. 3.要证明线线平行,可考虑公理4或转化为证明线面平行. 4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练1如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,又ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形, 于是MNAT. 因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)解：取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,命题热点一,命题热点二,命题热点三,面面平行或垂直的判定与性质 【思考】 判定面面平行或垂直有哪些基本方法? 例2 (2017全国,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)证明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明: 由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD. (2)解: 在平面PAD内作PFAD,垂足为F. 由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.判定面面平行的四个方法: (1)利用定义,即判断两个平面没有公共点; (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行; (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 2.面面垂直的证明方法: (1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线; (2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角. 3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证: (1)直线DE平面A1C1F; (2)平面B1DE平面A1C1F.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC. 在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点, 所以DEAC,于是DEA1C1. 又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F, 所以直线DE平面A1C1F.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1. 因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1. 又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1, 所以A1C1平面ABB1A1. 因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D. 又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1, 所以B1D平面A1C1F. 因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,平行、垂直关系及体积中的探索性问题 【思考】 解决探索性问题的基本方法有哪些? 例3在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,ABCD,AC= ,AB=2BC=2,ACFB. (1)求证:AC平面FBC; (2)求四面体F-BCD的体积; (3)线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM?证明你的结论.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(3)解：线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA平面FDM.证明如下: 连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN,如图. 因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE的中点. 所以EAMN. 因为MN平面FDM,EA平面FDM, 所以EA平面FDM. 所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM成立.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.对命题条件的探索的三种途径: (1)先猜想后证明,即先观察与尝试给出条件再证明; (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性; (3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件. 2.对命题结论的探索方法: 从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ADAB,CD=2AB=4,AD= ,E为CD的中点,将BCE沿BE折起,使得CODE,其中点O在线段DE内. (1)求证:CO平面ABED; (2)求CEO(记为)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明：在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE. 又ABDE,ADAB,知BECD. 在四棱锥C-ABED中,BEDE,BECE,CEDE=E,CE,DE平面CDE,则BE平面CDE. 因为CO平面CDE,所以BECO. 又CODE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,故CO平面ABED.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,规律总结,拓展演练,1.三种平行关系的转化方向.,规律总结,拓展演练,2.空间直线与平面垂直的相互转化. 3.线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.,规律总结,拓展演练,1.已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则( ) A.ml B.mn C.nl D.mn,答案,解析,规律总结,拓展演练,2.已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是( ) A.l,m,且lm B.l,m,n,且lm,ln C.m,n,mn,且lm D.l,lm,且m,答案,解析,规律总结,拓展演练,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).,答案,解析,规律总结,拓展演练,4.(2017浙江,19) 如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. (1)证明:CE平面PAB; (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.,规律总结,拓展演练,(1)证明: 如图,设PA中点为F,连接EF,FB. 因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF= AD, 又因为BCAD,BC= AD, 所以EFBC且EF=BC, 即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF. 因此CE平面PAB.,(2)解: 分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ, 因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点. 在平行四边形BCEF中,MQCE. 由PAD为等腰直角三角形得PNAD. 由DCAD,N是AD的中点得BNAD. 所以AD平面PBN. 由BCAD得BC平面PBN, 那么平面PBC平面PBN. 过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影, 所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.,规律总结,拓展演练,
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