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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布,第1节 分类加法计数原理与 分步乘法,1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题,要点梳理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,质疑探究：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理,基础自测 1从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为( ) A6 B5 C3 D2 解析 “完成这件事”即选出1人当主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有325种不同的选法故选B. 答案 B,24封不同的信投入3个不同的信箱中，所有投法的种数是( ) A7 B12 C34 D43 解析 根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有333334(种)投法，故选C. 答案 C,3在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( ) A50个 B45个 C36个 D35个 解析 根据题意，十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个) 答案 C,4从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答) 解析 第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法 由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336种 答案 36,5如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个,解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个) 第二类，有两条公共边的三角形共有8(个) 由分类加法计数原理知，共有32840(个) 答案 40,典例透析 考向一 分类加法计数原理 例1 (1)(2015临沂模拟)A与B是I1,2,3,4的子集，若AB1,2，则称(A，B)为一个理想配集，若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是( ) A4 B8 C9 D16,(2)以m的值为标准分类，分为五类第一类：m1时，使nm，n有6种选择；第二类：m2时，使nm，n有5种选择；第三类：m3时，使nm，n有4种选择；第四类：m4时，使nm，n有3种选择；第五类：m5时，使nm，n有2种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个 答案 20,解析 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则mn0. 以m的取值进行分类 (1)当m1时，n值不存在； (2)当m2时，n可取1，只有1种选择；,(3)当m3时，n可取1,2，有2种选择； (4)当m4时，n可取1,2,3，有3种选择； (5)当m5时，n可取1,2,3,4，有4种选择； 由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个 答案 10,拓展提高 (1)运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键 (2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：根据问题的特点确定一个适合的分类标准；完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 提醒：对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法,考向二 分步乘法计数原理 例2 已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则 (1)P可表示平面上_个不同的点； (2)P可表示平面上_个第二象限的点. 解析 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636.,(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是 326. 答案 (1)36 (2)6,拓展提高 利用分步乘法计数原理解决问题时要注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序 (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件 (3)对完成各步的方法数要准确确定,活学活用2 (1)设集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数是( ) A7 B10 C25 D52 (2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答),解析 (1)由题意知本题是一个分步乘法计数原理，因为集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1, 0,1,2,3，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得2510.故选B. (2)法一：用2,3组成四位数共有222216(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16214(个),答案 (1)B (2)14,考向三 两个原理的综合应用 例3 (1)(2015福州模拟)某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有_种不同的选法 (2)(2015许昌模拟)从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为_ (3)(2015银川模拟)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选取3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法是_,解析 (1)分三类：高一、高二各一人，共有5630种选法；高一、高三各一人，共有5420种选法高二、高三各一人，共有6424种选法由分类加法计数原理，共有30202474种选法 (2)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0. 不取1时，分两步： 第一步：取底数，5种；,第二步：取真数，4种，其中log43log49，log32log94，log24log39，log42log93，所以不同的对数的值的个数为154417. (3)若黄瓜种在第一块土地上，则有3216种不同种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3216种，故不同的种植方法共有66618(种) 答案 (1)74 (2) 17 (3)18,拓展提高 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步 (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数 (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析,创新探究 应用两个计数原理求解涂色问题 典例 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为_,审题视角 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题,解析 法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法 当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420(种),法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色 第一步，S点染色，有5种方法； 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法； 第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种),方法点睛 两个计数原理综合应用的常见题型与求解策略：,【跟踪训练】 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有_种不同的涂色方法 解析 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.,当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法由分步乘法计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法； 当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480(种)不同的涂法 由分类加法计数原理可得，共有18080260(种)不同的涂法 答案 260,思维升华 【方法与技巧】,1分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事,2混合问题一般是先分类再分步 3分类时标准要明确，做到不重复不遗漏 4要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律,【失误与防范】,1切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行 2分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步 3确定题目中是否有特殊条件限制,
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