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第十一章 复数、算法、推理与证明,第5节 数学归纳法,1了解数学归纳法的原理 2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,要点梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，推出当_时命题也成立,nk1,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的所有正整数都成立上述证明方法叫做数学归纳法 质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？ 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误 (1)第一步中， 验算nn0中的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2或3等 (2)第二步中，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧,解析 观察等式左边的特征易知选C. 答案 C,解析 从n到n2共有n2n1个数， 所以f(n)中共有n2n1项. 答案 D,4凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_. 解析 易得f(k1)f(k). 答案 ,典例透析,所以当nk1时等式也成立 综合(1)(2)知对一切nN* ，等式都成立 拓展提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几； (2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明,思路点拨 利用假设后，要注意不等式的放大和缩小,拓展提高 (1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明 (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有放缩法；利用均值不等式法；作差比较法等,考向三 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中n为正整数 思路点拨 当nk1时，把42(k1)13k3配凑成42k13k2的形式是解题的关键,拓展提高 用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”,活学活用3 已知n为正整数，aZ，用数学归纳法证明：an1(a1)2n1能被a2a1整除 证明 (1)当n1时，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除 (2)假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么当nk1时， ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2,思路点拨 关键是搞清nk到nk1时对角线增加的条数，看顶点的变化可知对角线的变化从而可解,拓展提高 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧. 活学活用4 平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2n2个部分,审题视角 (1)将n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明 (2)利用分析法，结合x0，y0，xy1，利用基本不等式可证,【答题模板】 第1步：寻找特例a1，a2，a3等 第2步：猜想an的公式 第3步：转换递推公式为an与an1的关系 第4步：用数学归纳法证明an. 验证递推公式中的第一个自然数n2. 推证ak1的表达式为k1. 补验n1，说明对于nN*成立 第5步：分析法证明,提醒：(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 (2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值,思维升华 【方法与技巧】,1数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可 有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础 2归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：,(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设 3利用归纳假设的技巧 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用,【失误与防范】,1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1； 2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法,
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