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第十一章 复数、算法、推理与证明,第1节 数系的扩充与复数的引入,1理解复数的基本概念 2理解复数相等的充要条件 3了解复数的代数表示法及其几何意义 4会进行复数代数形式的四则运算 5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义,要点梳理 1复数的有关概念 (1)复数的定义 形如abi(a、bR)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b(i是虚数单位). (2)复数的分类,2复数的几何意义 (1)复平面的概念 建立_来表示复数的平面叫做复平面 (2)实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做_，y轴叫做_，实轴上的点都表示_；除原点以外，虚轴上的点都表示_ (3)复数的几何表示,直角坐标系,实轴,虚轴,实数,纯虚数,3复数代数形式的四则运算 (1)运算法则： 设z1abi，z2cdi (a，b，c，dR)，则,(ac)(bd)i,(acbd)(adbc)i,(2)复数加法的运算律： 设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律： 交换律：z1z2z2z1； 结合律：(z1z2)z3z1(z2z3),质疑探究1z1、z2为复数，z1z20，那么z1z2，这个命题是真命题吗？ 提示：假命题例如：z11i，z22i，z1z230. 但z1z2无意义，因为虚数无大小概念,基础自测 1(2014重庆高考)复平面内表示复数i(12i)的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 复数i (12i)2i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限 答案 A,2设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件. 答案 B,答案 D,4(2014北京高考)若(xi) i12i (xR)，则x_. 解析 (xi) i1xi12i，x2. 答案 2,5给出下列结论： 任何数的平方都不小于0. 已知zabi (a，bR)，当a0时复数z为纯虚数 两个虚数的和还是虚数 复数的模就是复数在复平面内对应向量的模 其中真命题是_(写出所有真命题的序号) 解析 错误，纯虚数的平方小于0，如(2i)240； 错误，当a0，且b0时，z0是实数； 错误，例如，2i与2i是两个虚数，其和为4是实数； 正确，由复数的几何意义知该结论正确 答案 ,典例透析,(2)(2015南阳模拟)已知复数z(a21)(a1) i(aR)是纯虚数，则a( ) A0 B1 C1 D1 思路点拨 把条件化简，将所求复数写成abi，再求解相应问题,答案 (1)D (2)C,拓展提高 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解,答案 B,答案 (1)C (2)D,拓展提高 (1)复数的代数运算技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧 (2)一般先乘方、再乘除、最后为加减，有括号者可先算括号里面的 (3)几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度,思路点拨 (1)由对称性先求出z2.(2)把复数化简为abi，找出对应点的坐标(a，b),活学活用3 (1)(2013四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( ) AA BB CC DD,答案 (1)B (2)(1,1),思想方法22 复数代数运算的转化方法 典例 (2013广东高考)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是( ) A2 B3 C4 D5 审题视角 弄清题目条件、解题目标 题目条件 已知复数相等，其中含有x，yR.,解题目标 计算|xyi|. 关系转化： ()根据复数相等，视xyi为一个数，直接求xyi，再化简 ()根据模的性质直接求 ()利用复数相等分别求x，y，再求模,答案 A,思维升华 【方法与技巧】,【失误与防范】,1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解 3两个虚数不能比较大小,4利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件 5z20在复数范围内有可能成立，例如：当z3i时z290.,
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