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第八章 平面解析几何,第7节 曲线与方程,1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程,要点梳理 1曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系： (1)曲线C上点的坐标都是_ (2)以方程F(x，y)0的解为坐标的点都_那么这个方程叫做_，这条曲线叫做_,方程F(x，y)0的解,在曲线C上,曲线的方程,方程的曲线,2求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系 (2)设点设轨迹上的任一点P(x，y) (3)列式列出动点P所满足的关系式 (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简 (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程,3两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题,解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50. 答案 D,解析 如图所示，设三个切点分别为M、N、Q.,|PF1|PF2|PF1|PM|F2N|F1N|F2N|F1F2|2|F2N|2a， |F2N|ac，N点是椭圆的右顶点， CNx轴，圆心C的轨迹为直线 答案 D,4已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹方程是_,5已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_ 解析 设P(x，y)，因为MPN为直角三角形， |MP|2|NP|2|MN|2， (x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24. M，N，P不共线，x2， 轨迹方程为x2y24 (x2) 答案 x2y24 (x2),拓展提高 (1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点，列方程化简其关键是根据条件列出方程来 (2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上,活学活用1 如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程,考向二 定义法求轨迹方程 例2 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 思路点拨 利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解,解 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系,由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|r1；,拓展提高 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量 提醒：弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键,活学活用2 如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.,思想方法18 利用参数法求轨迹方程 典例 已知抛物线y24px(p0)，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，则点M的轨迹为_ 审题视角 (1)点M的运动是由A点的运动引起的，而A的变动又和OA的斜率有关(2)若OA的斜率确定，A的坐标确定，M的坐标也确定，所以可选OA的斜率为参数,解析 设点M的坐标为(x，y)，直线OA的方程为ykx，,可知M点的坐标同时满足， 由及消去k得4pxx2y2， 即(x2p)2y24p2 (x0)， 当k1时，容易验证M点的坐标仍适合上述方程 故点M的轨迹方程为(x2p)2y24p2(x0)，其轨迹是以点(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆 答案 以点(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆,方法点睛 (1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简捷但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手(2)个别考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终结论(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程,解析 直线l过点M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为k， 则l的方程为ykx1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题设可得点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组,思维升华 【方法与技巧】,求轨迹的方法 (1)直接法： 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程,(2)定义法： 其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程 (3)代入法(相关点法)： 当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法,【失误与防范】,1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义 2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等,
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