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第八章 平面解析几何,第5节 抛物线,1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) 2理解数形结合的思想 3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用,要点梳理 1抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_ 质疑探究1：若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？,相等,焦点,准线,提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线,2抛物线的标准方程与几何性质,质疑探究2：抛物线的标准方程中p的几何意义是什么？ 提示：p的几何意义是焦点到准线的距离,解析 Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1. 答案 C,4若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_ 解析 由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y. 答案 x212y,典例透析 考向一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标 思路点拨 把|PF|转化为P到准线的距离，两点之间线段最短,活学活用1 (2015辽宁省五校联考)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_. 解析 分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8. 答案 8,考向二 抛物线标准方程及性质 例2 (1)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米,解析 (1)如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0),拓展提高 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此,活学活用2 (2015郑州一模)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( ),答案 C,答案 D,易错分析 1.处易与抛物线的标准方程y22px混淆，导致焦点坐标求错，造成失分 2.处直接求出a的值，则容易出现计算错误，注意到直线平行，可简化计算 防范措施 1.抛物线的坐标方程一端是x2(或y2)，而另一端是2py(或2px)的形式 2.在解析几何中，要注意利用设而不求的方法，要充分利用题设条件，避免烦琐运算，以提高运算速度及结果的准确性,答案 C,思维升华 【方法与技巧】,1. 认真区分四种形式的标准方程 (1)区分yax2与y22px (p0)，前者不是抛物线的标准方程 (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0) 2抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：,【失误与防范】,1求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程 2注意应用抛物线的定义解决问题,
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