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第五章 数 列,第4节 数列求和,1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式 2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题,(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消_尾若干项 (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广,剩下首,(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.,答案 D,2若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn为( ) A2nn21 B2n1n21 C2n1n22 D2nn22,答案 C,答案 A,4若Sn1234(1)n1n，则S50_. 解析 S5012344950(1)2525. 答案 25,5设数列an的通项公式为an22n1，令bnnan，则数列bn的前n项和Sn为_.,思路点拨 求出an后，bn可看作两个数列an与2an对应项之和，故SnSnTn.,解 (1)设等差数列的公差为d，d0.由题意得， (2d)223d8，d2d0(d3)(d2)0， 得d2. 故ana1(n1)d2(n1)22n， 得an2n.,(3)若数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列(常数列)求和 活学活用1 (2015合肥市质检)已知数列an满足anan1an2an324，且a11，a22，a33，则a1a2a3a2 013_.,解析 由anan1an2an324可知，an1an2an3an424，得an4an，所以数列an是周期为4的数列，再令n1，求得a44，每四个一组可得(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)a2 0131050315 031. 答案 5 031,拓展提高 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等,审题视角 利用SnSn1an确定an的性质可求an与bn，用错位相减法求Tn，再寻找与bn1和an1的关系,当a12时，a25，a617，此时a1，a2，a6不成等比数列，a12； 当a11时，a24，a616，此时a1，a2，a6成等比数列， a11. an3n2，bn4n1. (2)由(1)得 Tn14n144n2(3n5)41(3n2)40， 4Tn14n44n174n2(3n2)41. 由，得,拓展提高 (1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解 (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式,规范答题6 分项数奇偶性的数列的通项与求和 典例 (本小题满分12分12分)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.,(1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn. 审题视角 题目条件：等比数列an的前三项是表中的数字，新数列bn是由an计算出来的 解题目标：()从表中选出可构成等比数列的三个数，则可得an. ()化简bn，求其和,满分展示 解 (1)当a13时，不合题意； 当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意； 当a110时，不合题意 因此a12，a26，a318. (3分) 所以公比q3. 故an23n1. (6分),(2)因为bnan(1)nln an 23n1(1)nln(23n1) 23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3， (8分) 所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.,提醒：(1)从表中选数字组成等比数列，就是试验法，先确定a2，再看是否满足aa1a3. (2)当an为等比数列，且an0时，则ln an为等差数列 (3)对于通项中含有(1)n的符号变化的要分n的奇偶性求和,思维升华 【方法与技巧】,非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； (2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和,【失误与防范】,1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论 2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号 3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项,
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