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第五章 数 列,第2节 等差数列及其前n项和,1理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.,要点梳理 1等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.,4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam_，(n，mN) (2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN)，则_.,(nm)d,akalam,(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为_的等差数列,2d,md,7等差数列的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值 质疑探究：等差数列通项公式与前n项和公式的推导分别用了什么方法？ 提示：前者用的是叠加法，后者用的是倒序相加法,大,小,基础自测 1给出下列命题： 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1anan2. 等差数列an的单调性是由公差d决定的 数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数,等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 其中正确的命题是( ) A B C D 解析 错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列 正确如果数列an为等差数列，根据定义an2an1an1an，即2an1anan2；反之，若对任意nN，都有2an1anan2，则an2an1an1ananan1a2a1，根据定义数列an为等差数列,正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d0时为递减数列 错误根据等差数列的通项公式，ana1(n1)ddn(a1d)，只有当d0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数，否则不是,答案 B,2(2015海淀质检)等差数列an中，a23，a3a49，则a1a6的值为( ) A14 B18 C2 D27 答案 A,3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于( ) A58 B88 C143 D176 答案 B,4已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.,答案 3,考向一 等差数列基本量的计算 例1 (1)(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9( ) A6 B4 C2 D2,(2)(2015石家庄市质检)已知等差数列an满足a23，SnSn351(n3)，Sn100，则n的值为( ) A8 B9 C10 D11 思路点拨 在等差数列an的an，Sn，a1，d，n的五个量中，知其三，求其二,互动探究 本例(1)中，已知条件不变，则Sn_.,答案 n211n,拓展提高 此类问题的通法是把条件转化为a1与d的方程(组)，进而可求其它问题 结合性质求解，可简化计算 活学活用1 (1)(2015荆州市调研)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S1060，则S20( ) A80 B160 C320 D640,答案 C,(2)(2015郑州市质检)等差数列an的前7项和等于前2项和，若a11，aka40，则k_.,答案 6,思路点拨 由题设条件构造(an1an)(anan1)的值，并累加求和,拓展提高 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数 (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列 (3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列,(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列 提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断.,考向三 等差数列的性质及应用 例3 (1)(2014重庆高考)在等差数列an中，a12，a3a510，则a7( ) A5 B8 C10 D14 (2)(2015武汉市联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是( ) A18 B19 C20 D21,解析 (1)由题意，得a12da14d2a16d46d10，解得d1，所以a7a16d268.故 选B. (2)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.,(3),答案 (1)B (2)C (3)D (4)5,拓展提高 利用等差数列性质的常见题型与求解策略：,思想方法12 函数思想在等差数列前n项和的最值中的应用 典例 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值 审题视角 由a120及S10S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解,方法点睛 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前n项和SnAn2Bn (A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值,即时突破 已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_,答案 110,思维升华 【方法与技巧】,1等差数列的判断方法 (1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列 (2)等差中项法：2an1anan2 (nN)an是等差数列 (3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列 (4)前n项和公式：SnAn2Bn (A、B为常数)an是等差数列,2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解 3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定,【失误与防范】,1当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数 2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列,
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