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第五章 数 列,第1节 数列的概念与简单表示法,1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式) 2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,要点梳理 1数列的定义 按照_排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_,一定次序,项,2数列的分类,有限,无限,3数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是_ 、_和_ 4数列的函数特征 从函数观点看，数列可以看成以_ _为定义域的函数anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的_,列表法,图像法,解析法,解析式,正整数集N*(或它的有限,子集1,2,3，n),5数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 质疑探究：数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？,序号n,6数列的递推公式 如果已知数列an的首项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1，an2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式 7an与Sn的关系 (1)Sna1a2an.,2已知数列的通项公式为ann28n15，则3( ) A不是数列an中的项 B只是数列an中的第2项 C只是数列an中的第6项 D是数列an中的第2项和第6项 解析 令ann28n153， 整理可得n28n120， 解得n2或n6. 故3是数列an中的第2项或第6项，故选D. 答案 D,3设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为( ) A15 B16 C49 D64 解析 Snn2，a1S11. 当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1. an2n1， a828115. 答案 A,4已知数列an满足astasat(s，tN)，且a22，则a8_. 解析 令st2，则a4a2a24，令s2，t4，则a8a2a48. 答案 8,5在数列an中，a11，an2an1an(nN)，则a100等于_ 解析 因为an2an1an，所以an3an2an1. 两式相加得an3an，则an6an3an， 即数列an的周期为6，所以a100a1664a4a3a2(a2a1)a2a11. 答案 1,思路点拨 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系,拓展提高 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项符号特征等，并对此进行归纳、联想 (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整,思路点拨 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式,法二：(迭代法) an13an2， 即an113(an1)32(an11)33(an21) 3n(a11)23n(n1)， 所以an23n11(n2)， 又a11也满足上式， 故数列an的一个通项公式为an23n11.,拓展提高 典型的递推数列及处理方法,提醒：对于有些递推公式要注意参数的限制条件,(2)当n1时，S12a11，a11. 当n2时，Sn12an11， an2an2an1， an2an1. an是等比数列且a11，q2， 故a5a1q42416.,答案 (1)(2)n1 (2)D,活学活用3 (1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则an的通项公式为_ (2)已知数列an的前n项和Sn满足Sn3nb，则an_. 解析 (1)a1S1231， 当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.,提醒：anf(n)是n的函数，其定义域为N，而不是R. 成功破障 已知an是递增数列，且对于任意的nN，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_,解析 法一：(定义法) 因为an是递增数列，所以对任意的nN，都有an1an， 即(n1)2(n1)n2n，整理，得 2n10，即(2n1)(*) 因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.,1求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法,思维升华 【方法与技巧】,1数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的 2数列的通项公式不一定唯一,【失误与防范】,
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