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第七章 立体几何与空间向量,第7节 立体几何中的向量方法,1理解直线的方向向量与平面的法向量 2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用 5能用向量法解决空间的距离问题,要点梳理 1用向量证明空间中的平行或垂直 (1)直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量有_个 (2)若直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量，显然一个平面的法向量也有_个，它们是_向量,平行,无数,无数,共线,质疑探究：在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？ 提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可以作为平面法向量的坐标 (3)用向量证明空间中的平行关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2. 设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y使vxv1yv2.,设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或l vu. 设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2. (4)用向量证明空间中的垂直关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20. 设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu. 设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.,2用向量计算空间角和距离 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|. (2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm1，m2|.,b如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2 c点面距的求法,基础自测 1(2015西安模拟)若直线l的方向向量为a(1，1,2)，平面的法向量为u(2,2，4)，则( ) Al Bl Cl Dl与斜交 解析 因为直线l的方向向量a(1，1,2)与平面的法向量u(2,2，4)共线，则说明了直线与平面垂直 答案 B,2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于( ) A2 B4 C4 D2,3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是( ) A平行 B相交 C异面垂直 D异面不垂直,答案 C,4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_,5在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_,解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a) 过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离,典例透析 考向一 用向量证明垂直或求异面直线所成的角 例1 (2015湖北省八校联考)如图，直三棱柱ABCABC的侧棱长为3，ABBC，且ABBC3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.,(1)求证：无论E在何处，总有BCCE； (2)当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，求异面直线AF与AC所成角的余弦值,思路点拨 (1)借助于线面关系证明BC面ABC，从而可证BCCE.当VBEBF为最大值确定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值 (2)以B为原点建系，用向量求解 (法一)(1) 证明：由题意知，四边形BBCC是正方形，连接AC，BC，则BCBC.,又ABBC，BBAB， AB平面BBCC. BCAB，BC平面ABC. 又CE平面ABC，BCCE.,活学活用1 (2015郑州第一次质检)如图，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC2AD4，ABC60，BFAC. (1)求证：AC平面ABF； (2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值 (1)证明 因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD， AFAD，AF平面ADEF，所以AF平面ABCD. 故AFAC，又BFAC，AFBFF，所以AC平面ABF.,(2)解：由(1)得AF，AB，AC两两垂直，则以A点为坐标原点，,思路点拨 立体几何题目一般有两种思路：传统法和向量法传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成(1)要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解向量法则是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，利用向量的计算完成证明或求解直线一般求其方向向量，平面一般求其法向量(1)只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角,图(1),图(2),拓展提高 本题法一采用了传统法，在第二问中要作出CBMD的平面角，这里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、证、算于一体二面角的做法一直是个难点，不如建系用向量方法求简单，如方法二,活学活用2 (2014四川高考) 三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图所示设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.,(1)证明：P是线段BC的中点； (2)求二面角A NP M的余弦值 (1)证明 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形，所以AOBD，OCBD. 因为AO，OC平面AOC，且AOOCO，所以BD平面AOC.,考向三 用向量求线面角 例3 (2014福建高考) 在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示 (1)求证：ABCD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 思路点拨 (1)转化为证明AB平面BCD；(2)利用坐标法,(1)证明 平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD. 又CD平面BCD，ABCD. (2) 解：过点B在平面BCD内作BEBD.,活学活用3 (2015东北三校模拟)如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDC2AD，ADDC，BCD45. (1)设PD中点为M，求证：AM平面PBC； (2)求PA与平面PBC所成角的正弦值,活学活用4 (2015天津南开调研)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点 (1)求证：B1C平面A1BD； (2)求点B1到平面A1BD的距离,规范答题7 向量法求空间角 典例 (本小题满分12分)如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点 (1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF与平面AA1B所成二面 角(锐角)的余弦值.,审题视角 (1)研究的几何体为长方体，AB2，AA11. (2)所求的是异面直线所成的角和二面角 (3)可考虑用空间向量法求解 满分展示 解 (1)以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)(2分),【答题模板】 利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系 第二步：确定点的坐标 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标 第四步：计算向量的夹角(或函数值) 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角 第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范,提醒：(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用 (2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范 (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错,思维升华 【方法与技巧】,1用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题,2利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算 (1)求两异面直线a、b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|. (2)求直线l与平面所成的角 可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn，a|. (3)求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则n1，n2或n1，n2 3求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段,【失误与防范】,1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外,2利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同 3求点到平面的距离，有时利用等积法求解可能更方便 4求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角,
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