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第七章 立体几何与空间向量,第3节 空间点、直线、平面 之间的位置关系,1理解空间直线、平面位置关系的定义 2了解可以作为推理依据的公理和定理 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题,要点梳理 1平面的基本性质及推论 (1)平面的基本性质： 基本性质1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,两点,基本性质2：经过_的三点，有且只有一个平面 基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_过这个点的公共直线 (2)平面基本性质的推论： 推论1：经过一条直线和_的一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条_有且只有一个平面 推论3：经过两条_ ，有且只有一个平面,不在同一直线上,有且只有一条,直线外,相交直线,平行直线,2空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系,0,1,0,(2)平行公理和等角定理 平行公理 平行于_的两条直线平行用符号表示：设a，b，c为三条直线，若ab，bc，则ac. 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_,同一条直线,相等或互补,3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系,1,0,无数,0,无数,基础自测 1已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾 答案 C,2已知A、B表示不同的点，l表示直线，、表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) AAl，A，Bl，Bl BA，A，B，BAB Cl ，AlA DA，Al，l lA 答案 C,3(2015台州模拟)对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 若两条直线异面，则一定无公共点，两条直线无公共点时，这两条直线可能平行，故选A. 答案 A,4正方体各面所在平面将空间分成_部分 解析 如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9327部分,答案 27,5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_,EF所成的角或所成角的补角连接D1C知CB1D1为正三角形，故B1C与EF所成的角为60. 答案 60,典例透析 考向一 平面的基本性质及应用 例1 (2015安顺模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面,证明 如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EF A1B. 又因为A1D1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1， 所以EFCD1， 即EF与CD1确定一个平面. 且E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面,所以四边形CD1FE是梯形 所以CE与D1F必相交设交点为P，如图， 则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1. 又因为平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE，D1F，DA交于一点,拓展提高 1.证明空间点共线问题的方法 (1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 2.点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内,(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合 (3)反证法 提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明,AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确命题的序号都填上) 思路点拨 过M、N作某些垂直于棱的直线找平行关系或者构造平面判定,解析 过N作NPBB1于点P，连接MP，可证AA1平面MNP，AA1MN，正确过M、N分别作MRA1B1、NSB1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1RS，A1C1与MN可以异面，也可以平行，故错误由正确知，AA1平面MNP，而AA1平面A1B1C1D1，平面MNP平面A1B1C1D1，故对综上所述，其中正确命题的序号是. 答案 ,拓展提高 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,活学活用1 如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， GH与EF平行； BD与MN为异面直线； GH与MN成60角； DE与MN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是_,解析 如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN. 答案 ,考向三 异面直线所成的角 例3 (2015宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中 (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小 思路点拨 (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算 (2)可证A1C1与EF垂直,解 (1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角 AB1ACB1C， B1CA60. 即A1D与AC所成的角为60.,(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中， ACBD，ACA1C1， E、F分别为AB、AD的中点， EFBD，EFAC. EFA1C1. 即A1C1与EF所成的角为90.,拓展提高 求异面直线所成角的一般步骤为： (1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点 (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角 (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之,易错警示12 平面直线所成的角与三角形内角混淆 典例 (2015广州模拟)已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角 正解 如图，取AC的中点P.,则PMN是等边三角形，所以PMN60， 即AB与MN所成的角为60. 若MPN120，则易知PMN是等腰三角形 所以PMN30，即AB与MN所成的角为30. 故直线AB和MN所成的角为60或30. 易错分析：在MPN中，找不清AB与CD、AB与MN所成的角 只得出MPN60一种情况，而忽略另一种情况MPN120，即混淆了异面直线所成的角与三角形内角,防范措施 (1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，不要忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成的角(或其补角)”的叙述；也就是平移线段后形成的三角形的内角为钝角时，其对应的异面直线所成的角为它的补角求异面直线所成的角务必注意范围(0，90 (2)解三角形时要注意分析三角形是否为特殊三角形，可使解答简单：如本题的等腰三角形,解 取AC的中点F，连接EF，BF， 在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD. BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角,思维升华 【方法与技巧】,1主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”) (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线,2. 判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定方法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线 (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面,【失误与防范】,1全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型 2注意点、线、面位置关系符号的正确应用,
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