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第七章 立体几何与空间向量,第4节 直线、平面平行的判 定及性质,1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题,要点梳理 1直线与平面平行 (1)判定定理,平行,l,(2)性质定理,平行,ab,质疑探究1：若直线a与平面内无数条直线都平行，是否a？ 提示：有可能a.,2平面与平面平行 (1)判定定理,相交直线,(2)性质定理,平行,ab,质疑探究2：(1)能否由线线平行推证面面平行？ (2)能否由线面垂直推证面面平行？ 提示：(1)可以，只需一平面内两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线，即得两平面平行 (2)可以，只需两平面垂直于同一直线，即得面面平行 质疑探究3：如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面，那么两个平面一定平行吗？,提示：不一定如果这无数条直线都平行，则这两个平面就不一定平行，可能相交，此时无数条直线都平行于交线 质疑探究4：由公理4知直线与直线的平行有传递性，那么平面与平面的平行具有传递性吗？ 提示：有即三个不重合的平面，若 ， ，则 .,基础自测 1设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是( ) A若l，l，则 B若l，l，则 C若l，l，则 D若，l，则l,解析 利用相应的判定定理或性质定理进行判断，可以参考教室内存在的线面关系辅助分析选项A，若l，l，则和可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l，l，则，故正确；选项C，若l，l，则，故错误；选项D，若，l，则l与的位置关系有三种可能：l，l，l，故错误故选B. 答案 B,2下列命题正确的是( ) A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行,解析 利用线面位置关系的判定和性质解答 A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，ABC的三个顶点中，A、B在的同侧，而点C在的另一侧，且AB平行于，此时可有A、B、C三点到平面距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C. 答案 C,3(2015长沙模拟)若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是( ) Ab Bb Cb或b Db与相交或b或b 解析 当b与相交或b或b时，均满足直线ab，且直线a 平面的情况，故选D. 答案 D,4已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题pa与b没有公共点；命题q：，则p是q的_条件 解析 a与b没有公共点，不能推出， 而时，a与b一定没有公共点， 即p/ q，qp，p是q的必要不充分条件 答案 必要不充分,5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_,解析 如图连接BD与AC交于O点，连接OE， 所以OE BD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE， 所以BD1平面ACE. 答案 平行,典例透析 考向一 直线与平面平行的判定与性质 例1 如图，四棱锥PABCD中，,ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点 (1)求证：MNAB； (2)求证：CE面PAD.,思路点拨 (1)由中点联想中位线MN DCAB. (2)可在PAD中寻作与CE平行的线，或者利用面CEF 面PAD，证CE 面PAD. 证明 (1)M、N为PD、PC的中点， MN DC，又DC AB， MN AB.,图(1),所以CE DH. 又DH平面PAD，CE平面PAD， 所以CE平面PAD.,图(2),拓展提高 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行 (2)证明直线与平面平行的方法：利用定义结合反证；利用线面平行的判定定理；利用面面平行的性质 提醒：证明线面平行时，要注意说明已知直线不在平面内,活学活用1 (2015湛江模拟)如图，在直三棱柱(侧菱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，点D是AB的中点,求证：AC1平面CDB1.,证明 设CB1与C1B的交点为E，连接DE， D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1. DE平面CDB1， AC1平面CDB1， AC1 平面CDB1.,考向二 平面与平面平行的判定与性质 例2 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：,思路点拨 (1)要证明B，C，H，G四点共面，只需要证明直线GH与直线BC共面，即证明GHBC即可 (2)要证明平面EFA1与平面BCHG平行，可利用面面平行的判定定理证明,互动探究 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.,证明 如图所示，连接A1C交AC1于点H，,因为四边形A1ACC1是平行四边形， 所以H是A1C的中点， 连接HD，因为D为BC的中点， 所以A1BHD. 因为A1B平面A1BD1， DH平面A1BD1，所以DH平面A1BD1.,又由三棱柱的性质知，D1C1BD， 所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1， BD1平面A1BD1， 所以DC1平面A1BD1，又因为DC1DHD， 所以平面A1BD1平面AC1D.,拓展提高 1.判定面面平行的方法,2.面面平行的性质 (1)两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面 (2)若一平面与两平行平面相交，则交线平行 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 重视三种平行间的转化关系 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向,考向三 空间平行的探索问题 例3 (2015东城区综合练习)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点 (1)求该多面体的体积与表面积； (2)当FGGD时，在棱AD上确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明,思路点拨 (1)由三视图得出几何体的特征，计算体积 (2)猜想P在AD上的位置来证明GP面FMC.,拓展提高 平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行,活学活用3 如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点 (1)求三棱锥APDE的体积； (2)AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由,(2)取AC中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EMPA.,思想方法15 立体几何证明问题中的转化思想 典例 如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1,的中点 求证：(1)AN平面A1MK； (2)平面A1B1C平面A1MK. 审题视角 (1)要证线面平行，需证线线平行(2)要证面面垂直，需证 线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直. 规范解答,证明 (1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，,四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， AA1DD1，AA1DD1， C1D1CD，C1D1CD. N，K分别为CD，C1D1的中点， DND1K，DND1K， 四边形DD1KN为平行四边形 KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN. 四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.,提醒：(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范,成功破障 (2014北京高考) 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点 (1)求证：平面ABE平面B1BCC1； (2)求证：C1F平面ABE； (3)求三棱锥E ABC的体积,(1)证明 在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC， 所以BB1AB. 又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1. 所以平面ABE平面B1BCC1. (2)证明 取AB的中点G，连接EG，FG.,思维升华 【方法与技巧】,1在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用 2. 直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质 3. 平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论； (4)a，a.,【失误与防范】,1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误 2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化” 3解题中注意符号语言的规范应用,
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