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第七章 立体几何与空间向量,第2节 空间几何体的表面积与体积,了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式,要点梳理 1空间几何体的侧面积和表面积 (1)常见几何体的侧面展开图：,扇环,共顶点的三角形,若干个小梯形,(2)多面体的表面积： 因为多面体的各面都是平面，所以多面体的表面积就是各个面的_，即展开图的面积 (3)旋转体的表(侧)面积：,面积之和,2r22rl,2r(rl),2rl,rl,(r2r2rlrl),4r2,(rr)l,质疑探究1：将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别会得到什么图形？ 提示：矩形、扇形、扇环 质疑探究2：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的？ 提示：将其侧面展开利用平面图形面积公式导出,Sh,基础自测 1一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( ),答案 B,2圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为( ) A7 B6 C5 D3 解析 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r. 由S(r3r)384，解得r7. 答案 A,3(2014陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A4 B3 C2 D 解析 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.故选C. 答案 C,答案 24,典例透析 考向一 几何体的表面积与侧面积 例1 (1)(2014安徽高考) 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( ),(2)(2015广州市调研)已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是( ),思路点拨 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积或侧面积,(2)由三视图知四棱锥如图所示，N为CD的中点，M为AB的中点，,拓展提高 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理 (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和,活学活用1 (1)一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是_cm2.,(2)(2015潍坊市考前适应性训练)如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为( ),A164 B124 C168 D128,(2)该几何体是半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4610164. 答案 (1)412 (2)A,考向二 空间几何体的体积 例2 (1)(2015辽宁省五校联考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm3.,(2) (2014重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A12 B18 C24 D30,思路点拨 由三视图分清是旋转体，还是多面体或是组合体，然后求出计算体积所需要的量，代入公式,拓展提高 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解,活学活用2 (2015郑州市二测)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是( ),答案 A,考向三 球的组合体及球的性质 例3 (1)(2013新课标高考全国卷)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_ (2)(2015安徽省“江南十校”联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_,思路点拨 (1)利用球的截面性质求解三角形 (2)寻找球的直径与几何体边长间的关系,拓展提高 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的,思想方法14 几何体的展开与折叠问题转化与化归思想的应用 典例 (1)有一根长为3 cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_ cm.,(2)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为_,审题视角 (1)可利用圆柱的侧面展开图；(2)考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系,方法点睛 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题 (2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题 (3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识,跟踪训练 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_ cm.,思维升华 【方法与技巧】,1对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决 2要注意将空间问题转化为平面问题 3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解 4一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决,【失误与防范】,1几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系 2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径,
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