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第七章 立体几何与空间向量,第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图,1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 3会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.,要点梳理 1空间几何体的结构特征,质疑探究：由棱柱的结构特征可知：棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，反过来，成立吗？ 提示：不一定成立，如图所示几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不是棱柱.,2空间几何体的三视图,正视图,侧视图,俯视图,正前方,正左方,正上方,对正,平齐,相等,主左,主俯,俯左,右,下,3空间几何体的直观图,斜二测,45或135,垂直,仍平行于坐标轴,原来的一半,不变,基础自测 1(2014福建高考)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱 解析 圆柱的正视图是矩形或圆，不可能是三角形，则该几何体不可能是圆柱故选A.,答案 A,2(2015青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为( ),解析 选C 长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C. 答案 C,3如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是( ),4. 利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_(写出所有正确的序号) 三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭圆；菱形的直观图是菱形 解析 正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故错；正确；中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误 答案 ,5. 一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号) 三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱 解析 存在可以得主视图为三角形的情况；四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得主视图为三角形；三棱柱，把侧面水平放置，正对着底面看，得主视图为三角形；四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；圆锥的底面水平放置，主视图是三角形；圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形 答案 ,典例透析 考向一 空间几何体的结构特征 例1 设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体； 棱台的相对侧棱延长后必交于一点 其中真命题的序号是_ 思路点拨 利用有关几何体的概念判断所给命题的真假,解析 命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的 答案 ,拓展提高 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定 (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可,活学活用1 以下命题： 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3,解析 命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题错，因这腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行 答案 B,考向二 空间几何体的三视图 例2 (1)(2015威海模拟)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( ),(2)(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( ),(3)(2015陕西省高三质检)如右图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的左视图为( ),(4)(2015长春模拟)一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1,的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图可能是_(填上序号),(5)(2015泰安模拟)某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为_,解析 (1)图2所示的几何体的侧视图由点A，D，B1，D1确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚，其中要把AD1和B1C区别开来，故选B. (2)根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D适合，故选D. (3)由俯视图知左视图从左到右最高的小立方体个数分别为2,3,1，故选C.,(4)由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在中,拓展提高 空间几何体的三视图的常见题型与求解策略：,提醒：对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同,思路点拨 画出正三角形ABC的平面直观图ABC，求ABC的高即可,答案 D,活学活用3 如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形ABCD是一直角梯形，ABCD，ADCD，且BC与y轴平行，若AB6，DC4，AD2.则这个平面图形的实际面积为_,易错警示11 忽视几何体的放置与特征致误 典例 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为( ),正解 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如图所示)，且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 答案 D,易错分析 (1)根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现错误，误把半圆锥看成半圆柱，不能准确判断出几何体的形状而误选A. (2)对实线与虚线的画法规则不明确而误选C. 防范措施 (1)首先确定几何体，面对读者是怎么放置的 (2)要分清三视图中的虚线是被哪部分挡住的 (3)要明确三视图中三角形的高度是不是几何体的高度,成功破障 (2015汕尾模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( ),解析 根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为： 所以侧视图为：,答案 C,思维升华 【方法与技巧】,1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决 2旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状 3. 三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等” 4. 直观图画法：平行性、长度两个要素,【失误与防范】,1台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行 2. 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响 3能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力,
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