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第一节 随机事件的概率,总纲目录,教材研读,1.事件的分类,考点突破,2.频率和概率,3.事件的关系与运算,考点二 互斥事件与对立事件的概率,考点一 随机事件的频率与概率,4.概率的几个基本性质,1.事件的分类,教材研读,2.频率和概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验 中事件A出现的 次数 nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 fn(A)= 为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的 频率fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称 为A的概率.,3.事件的关系与运算,4.概率的几个基本性质 (1)概率的范围为 0,1 . (2)必然事件的概率为 1 . (3)不可能事件的概率为 0 . (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(AB)= P(A)+P(B) .,概率加法公式的推广 (1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1A 2An)=P(A1)+P(A2)+P(An). (2)P( )=1-P(A1A2An)=1-P(A1)-P(A2)-P(An). 注意 涉及的各事件要彼此互斥.,(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件,P(AB)= 1 , P(A)= 1-P(B) .,1.下列事件中,随机事件的个数为 ( ) 物体在只受重力的作用下会自由下落; 方程x2+2x+8=0有两个实根; 某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次; 下周六会下雨. A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 为必然事件,为不可能事件,为随机事件.,B,2.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件 “至少有一名女生”与事件“全是男生” ( ) A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件 C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件,答案 C “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两 种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故 “至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件,故 选C.,C,3.给出下面三个命题: 设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是 次品; 做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是 ; 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,A,答案 A ,从中任取100件,可能有10件次品,并不是必有10件次品,故 是假命题. ,抛硬币时出现正面的概率是 ,不是 ,故是假命题. ,频率和概率不是一回事,故是假命题,故选A.,4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为 0.2,该同学的身高在160,175(单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高 超过175 cm的概率为 ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8,答案 B 由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175 cm的 概率为1-(0.2+0.5)=0.3.,B,5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的 概率是 .,典例1 (2015北京,17,13分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购 买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表 示购买,“”表示未购买.,考点一 随机事件的频率与概率,考点突破,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可 能性最大?,解析 (1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买 了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2. (2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了 甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买 了2种商品. 所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为 =0.3. (3)与(1)同理,可得: 顾客同时购买甲和乙的概率为 =0.2, 顾客同时购买甲和丙的概率为 =0.6,顾客同时购买甲和丁的概率为 =0.1, 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.,规律总结 频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性的 大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小.而从大量重复试 验中发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定于某一固定 的值,该值就是概率.,1-1 (2016课标全国,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购 买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次 数的关联如下:,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下 统计表:,(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A) 的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保 费的160%”.求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.,解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估 计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3, 故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得,调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,典例2 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:,求:(1)至多2人排队等候的概率; (2)至少3人排队等候的概率.,考点二 互斥事件与对立事件的概率,解析 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人 排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事 件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,事件A、B、C、D、E、F彼 此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F) =P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.,方法技巧 求复杂事件的概率一般有两种方法:一是直接法,将所求事件的概率分 解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立 事件的概率,再由P(A)=1-P( )求解.当题目涉及“至多”“至少”时,多 考虑间接法.,2-1 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张 奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券 中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券中奖的概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,解析 (1)P(A)= , P(B)= = , P(C)= = . (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1张奖券中奖”为事件M,则M=ABC. A、B、C两两互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)= = . 故1张奖券中奖的概率为 . (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张,奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, P(N)=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)=1- = . 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .,
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