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第十一章 推理与证明 11.1 合情推理与演绎推理,高考数学,1.归纳推理 (1)定义:根据某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部 对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理, 称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推 理. (2)一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质;从已知的相同性 质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).一般地,如果归纳的个别情 况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可靠.,知识清单,2.类比推理 (1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特 征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比 推理是由 特殊 到 特殊 的推理. (2)一般步骤:(i)找出两类事物之间的相似性或者一致性;(ii)用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).一般情 况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那 么类比得出的命题就越可靠.类比推理的结论具有偶然性,既可能真,也 可能假,它具有十分重要的实用价值,是一种合情推理. 3.演绎推理主要的形式是三段论,其一般模式: (1) 大前提 已知的一般原理,(2) 小前提 所研究的特殊情况, (3) 结论 根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 形式可以表示为: 大前提:M是P, 小前提:S是M, 结论:S是P. 它的本质是利用一般性原理推出相应的结论,再用结论之间的联系推导 出结论成立.,用归纳推理求解相关问题的方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略: (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律 及符号特点. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意纵向找规律. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法, 找出数列的项与项数的关系. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形,归纳推理得出结论,并用 赋值检验法检验其真伪性.,方法技巧,例1 (2017江苏常州高三质量检测,13)将正整数按下列方法分组:1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记第n组中各数之和为 An;由自然数的立方构成下列数组:03,13,13,23,23,33,33,43,记 第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn= .,解析 由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,可以归纳 出第n组有(2n-1)个正整数,每组中的首项为(n-1)2+1,从而An=(n-1)2+1(2 n-1)+ =(2n-1)(n2-n+1), 由03,13,13,23,23,33,33,43,可以归纳出第n组的两个数为(n-1)3, n3,从而Bn=n3-(n-1)3, 所以An+Bn=(2n-1)(n2-n+1)+n3-(n-1)3=2n3.,答案 2n3,用类比推理求解相关问题的方法 类比推理的难点是发现两类对象的相似特征,由其中一类对象的特征得 出另一类对象的特征,破解的方法是利用已经掌握的数学知识,分析两 类对象之间的关系,通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特 征. 类比推理的一般步骤: (1)定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征,如两类不同的 测度之间的关系导数关系; (2)推测,即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出 一个猜想;,(3)检验,即检验猜想的正确性,要将类比推理运用于简单推理之中,在不 断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力. 例2 二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,三维 空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V= r3,应用合情 推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8r3,则其四维测度W= .,解析 二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,观 察发现S=l,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V = r3,观察发现V=S,故猜想四维空间中,W=V,则W=2r4.,答案 2r4,破解演绎推理思想瓶颈的技巧 在应用三段论推理来证明问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提 和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正 确的,因此明确问题的大前提和小前提是正确解题的关键. 例3 (2017江苏扬州质检)对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)=1; 对任意的x10,x20,x1+x21,都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立,则称函数 f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)=0; (2)试判断函数f(x)=2x(x0,1),f(x)=x2(x0,1),f(x)= (x0,1)是不,是理想函数.,解析 (1)证明:取x1=x2=0,则x1+x2=01, f(0+0)f(0)+f(0),f(0)0. 又对任意的x0,1,总有f(x)0, f(0)0.于是f(0)=0. (2)对于f(x)=2x,x0,1,f(1)=2,不满足定义中的条件, f(x)=2x(x0,1)不是理想函数. 对于f(x)=x2,x0,1,显然f(x)0,且f(1)=1. 任取x1,x20,1,x1+x21, f(x1+x2)-f(x1)-f(x2) =(x1+x2)2- - =2x1x20, 即f(x1)+f(x2)f(x1+x2).,f(x)=x2(x0,1)是理想函数. 对于f(x)= ,x0,1,显然满足条件. 对任意的x1,x20,1,x1+x21, 有f2(x1+x2)-f(x1)+f(x2)2=(x1+x2)-(x1+2 +x2)=-2 0, 即f2(x1+x2)f(x1)+f(x2)2. f(x1+x2)f(x1)+f(x2),不满足条件. f(x)= (x0,1)不是理想函数. 综上,f(x)=x2(x0,1)是理想函数,f(x)=2x(x0,1)与f(x)= (x0,1) 不是理想函数.,
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