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第六章 数 列 6.1 数列的有关概念,高考数学,知识清单,2.数列的确定 (1)递推关系 如果已知数列的第1项(或前k项),且从第2项(或第k+1项)起的任一项an与 它的前一项an-1(或前k项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的一个递推公式.对于一个数列an,可由初始条件:a 1,a2,ak(k1),递推公式:an+k=f(an,an+1,an+k-1)(其中f可用解析式表示)来 确定.初始条件和递推公式构成一个递推关系. (2)通项公式 如果数列an的第n项an与 序号n 之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,(3)前n项和公式 Sn=a1+a2+an称为数列an的前n项和,由Sn可求出通项an.已知Sn,则an=,用归纳法推出数列的通项公式 1.归纳法是由特殊到一般的方法,由数列的前几项找出其共同规律,横看 “各项之间的关系”,纵看“项的各部分与项数n的关系”,从而确定数 列的通项公式. 2.对用图形表示的数列,归纳其通项公式时要抓住以下两点: (1)前后两个图形的数值关系(即递推关系); (2)由递推关系求通项公式(或先求前几项,再归纳出通项公式). 3.对由数组成的数列,归纳其通项公式时要抓住以下几点: (1)将前几项化为相同的结构; (2)利用常见正整数组成的数列推测出各项的部分与项数n的关系;,方法技巧,(3)确定项的符号特征; (4)适时运用“因式分解”“1”的技巧. 例1 已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式: (1)1,3,7,15,31,; (2)5,55,555,5 555,; (3)-1 ,3 ,-5 ,7 ,-9 ,.,解析 (1)各项分别加上1,变为2,4,8,16,32,其通项公式为bn=2n,故原数 列的一个通项公式为an=2n-1. (2)各项乘 ,变为9,99,999,9 999,各项再加上1,又变为10,100,1 000,10 000,这一数列的通项公式为bn=10n,由此可得原数列的一个通项公式 为an= (10n-1). (3)观察所给数列的各项,发现有这样几个特点:符号负正相间;整数 部分的绝对值依次为1,3,5,7,9,;分数部分的分母为从2开始的正整 数的平方;分数部分的分子构成首项为1的正整数列.综合这些特点可 得此数列的一个通项公式为an=(-1)n , 即an=(-1)n .,利用Sn与an的关系进行an与Sn的转换 1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是: an= 2.由Sn求an时,要分n=1和n2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用 统一的式子表示,若不能,则分段表示为an= 例2 若数列an的前n项和Sn= an+ ,则an的通项公式是an= .,解析 由Sn= an+ 得:当n2时,Sn-1= an-1+ ,当n2时,an=-2an-1,又n=1 时,S1=a1= a1+ ,a1=1,an是以1为首项,-2为公差的等差数列.an=(-2) n-1.,答案 (-2)n-1,由递推关系求数列的通项公式 1.累加法:若已知a1且an-an-1=f(n)(n2),则(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2 -a1)=an-a1=f(n)+f(n-1)+f(3)+f(2),即an=a1+f(2)+f(3)+f(n-1)+f(n). 2.累乘法:若已知a1且 =f(n)(n2),则 =f(n)f(n-1)f (3)f(2),即an=a1f(2)f(3)f(n-1)f(n). 3.换元法:若已知a1且an=pan-1+b(n2,p0且p1),则令bn=an+ ,可得bn=pbn-1(n2),即数列bn为等比数列. 4.迭代法:将an-1=f(an-2)代入an=f(an-1)得到an与an-2的关系,再将an-2=f(an-3)代 入,直到将a2=f(a1)代入为止,寻求规律求出通项公式.,例3 (2015江苏,11,5分)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数 列 前10项的和为 .,解析 由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,an-an-1=n-1+1(n2), 则有an-a1=1+2+3+n-1+(n-1)(n2),因为a1=1,所以an=1+2+3+n(n 2),即an= (n2),又当n=1时,a1=1也适合上式,故an= (nN*), 所以 = =2 ,从而 + + + =2 +2 +2 +2 =2 = .,答案,数列的单调性和最大(小)值 1.数列的单调性可以通过比较相邻两项的大小来判定,即an+1-an0an 是递增数列,an+1-an0an是递减数列. 2.数列作为特殊的函数,可以用函数的单调性来研究数列的单调性,即若 函数f(x)单调,则an=f(n)单调.但是an=f(n)单调,不等价于函数f(x)在1,+) 上单调. 3.求数列的最大(小)项,可用数列的单调性来解决,也可用函数的方法来 解决,但要注意nN*.,例4 (1)(2016江苏新海高级中学月考,13)已知数列an的通项公式为an =-8 +9 -3 (其中nN*),若第m项是数列an中的最小项,则am = . (2)(2016江苏南京一模,10)设Sn是等比数列an的前n项和,an0,若S6-2S3= 5,则S9-S6的最小值为 .,解析 (1)令 =t, 由an=-8 +9 -3 , 得an=-8t3+9t2-3t. 设f(t)=-8t3+9t2-3t, 则f (t)=-24t2+18t-3=-3(2t-1)(4t-1). 00, f(t)在 上单调递减,在 上单调递增. 当t= ,即n=2时,an最小,所以am=a2=-8 +9 -3 =- ,即am=- . (2)由等比数列的性质得(S6-S3)2=S3(S9-S6),由an0得Sn0,所以S9-S6= = =S3+ +1010+10=20. 当且仅当S3=5时取“=”,所以S9-S6的最小值为20.,答案 (1)- (2)20,
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