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1.3 三个正数的算术-几何平均数,1指出定理适用范围：,2强调取“=”的条件：,注意：1这个定理适用的范围：,2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。,利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等. 有一个条件达不到就不能取得最值.,基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？,语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的 几何平均。,推论:,关于“平均数”的概念：,叫做这n个正数的算术平均数。,叫做这n个正数的几何平均数。,语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当1a2=an时，等号成立,【归纳总结】 1.定理3的变形及结论 (1)abc . (2)a3+b3+c33abc. (3) 上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.,【即时小测】 1.函数y=2x2+ (xR+)的最小值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选A.因为xR+,所以 当且仅当x=1时等号成立.,2.若n0,则 的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选C.因为 所以 当且仅当n=4时等号成立.,3.若ab0,则a+ 的最小值为_. 【解析】因为ab0,所以a-b0, 所以 当且仅当(a-b)=b= 时等号成立. 答案:3,类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2x 的最大值. 2.求函数y=x+ (x1)的最小值.,【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值? 提示:可将式子(1-3x)2x化为 (1-3x)(1-3x)6x 的形式. 2.典例2中如何构造式子,使其积为定值? 提示:可将式子x+ 化为 则其积 为常数.,【解析】1.因为00, 所以y=(1-3x)2x= (1-3x)(1-3x)6x 当且仅当1-3x=1-3x=6x, 即x= 时等号成立,此时ymax= .,2.因为x1,所以x-10, 当且仅当 即x=3时等号成立,即ymin=4.,2.若将典例1条件变为“x,yR+且x2y=4”,如何求 x+y的最小值? 【解析】因为x,yR+且x2y=4, 所以x+y= 当且仅当 =y时等号成立, 又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.,2.(2016哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足 abcd,求证:,【证明】因为abcd,所以a-b0,b-c0, c-d0,a-d0,所以 = (a-b)+(b-c)+(c-d) 当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即,例:,解:,构造三个数相加等于定值.,解:,构造三个数相加等于定值.,解:,(错解:原因是取不到等号),正解:,
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