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第二十二章 选修4系列 22.1 矩阵与变换,高考数学,1.矩阵的概念 在数学中,我们把形如 , , 这样的矩形数字(或字母)阵列称 为矩阵(matrix). 记法:矩阵通常用大写的黑体拉丁字母来表示,比如A,B,C,或(aij)(其 中i,j分别为元素aij所在的行和列). 矩阵相等:设有两个矩阵A,B,如果它们适合如下条件: (1)A与B的行数与列数分别相等;,知识清单,(2)A与B对应位置的元素也分别相等. 则称A与B相等并记为A=B. 说明:如果A=(aij)mn中行数与列数相等,即m=n,比如 ,则称A为m阶方 矩阵或m阶方阵.方阵在矩阵理论中占有重要的地位. 2.矩阵乘法定义 一般地,我们规定行矩阵a11,a12与列矩阵 的乘法规则为a11,a12 =a11b11+a12b21,二阶矩阵 与列矩阵 的乘法规则为 = .,说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN 后TM)的复合变换. 一般地,对于平面上的任意一个向量P= ,若按照对应法则T,总能对应 唯一的一个向量P= ,则称T为一个变换(transformation),简记为: T:(x,y)(x,y)或T: . 3.几种常见的平面变换 恒等变换:对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵 对应的变换,都 把自己变成自己.因此,我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单 位矩阵,所实施的对应变换称作恒等变换.,伸压变换:像 , (m,n0,|m|,|n|1),这种将平面图形作沿y轴 方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称作沿y 轴或x轴的垂直伸压变换矩阵,对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压 变换. 反射变换:像 , , ,这样将一个平面图形F变为关于定直 线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称为反射变换矩阵,相应的变换 称为反射变换. , 对应于轴反射, 对应于中心反射. 旋转变换:矩阵 通常叫做旋转变换矩阵,对应的变换称作旋 转变换,其中的角叫做旋转角.,投影变换:像 , ,这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点) 上的变换矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应的变换称作投影变换. 切变变换:矩阵 把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移|ky|个单位;当 ky0时,沿x轴正方向移动;当ky0时,沿x轴负方向移动;当ky=0时,原地 不动.上述这种变换通常叫做切变变换,对应的矩阵叫做切变变换矩阵. 4.矩阵的逆矩阵 有的变换能够“找到回家的路”,称为原变换的逆变换,逆变换也对应 着一个矩阵.但并不是所有的二阶矩阵A,都存在二阶矩阵B,使得AB=BA =E. 定义:若二阶方阵A、B满足AB=BA=E(E为二阶单位矩阵),则称A是可,逆的.B为A的逆矩阵,记为A-1,B=A-1. 说明:(1)若B为A的逆矩阵,则A同时也为B的逆矩阵,即A=B-1,所以(A-1)-1 =A; (2)若二阶矩阵A存在逆矩阵,则逆矩阵唯一. 5.二元一次方程组与二阶行列式 关于x,y的二元一次方程组 (1)方程组的解的分母是系数矩阵 的主对角线上的数的乘积减去 副对角线上的数的乘积. (2)二阶行列式的定义:我们把 称为二阶行列式,它的运算结果是一,个数值或多项式,记为: det A= = ad-bc . 则方程组的解的分母就是 ,再将 记为D, 记为Dx, 记 为Dy,所以方程组的解为 6.二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵,如果对于实数,存在一个非零向量,使得A=, 那么称为A的一个特征值,而称为A的属于特征值的一个特征向量.,(2)特征向量的几何意义 特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后,保持在同一条直线上,这时特 征向量或者方向不变(0),或者方向相反(0),特别地,当=0时,特征向 量就被变成了0. (3)特征多项式 设是二阶矩阵A= 的一个特征值,它的一个特征向量为= ,则A = ,即 满足二元一次方程组 故 (*) 由特征向量的定义知0,因此x,y不全为0,若要上述二元一次方程组有,不全为0的解,则必须有D=0,即 =0. 定义:设A= 是一个二阶矩阵,R,我们把多项式 f()= =2-(a+d)+ad-bc称为A的特征多项式. (4)求矩阵的特征值与特征向量 如果是二阶矩阵A的特征值,则一定是二阶矩阵A的特征多项式的一 个根,它满足f()=0.此时,将代入二元一次方程组(*),就可以得到一组非 零解 ,于是,非零向量 即为A的属于的一个特征向量.,求解逆矩阵 求逆矩阵常用的三种方法: (1)待定系数法:设A是一个二阶可逆矩阵 ,则AA-1=A-1A=E(E为单位 矩阵). (2)公式法: =ad-bc,记为det A,有A-1= (当且仅当det A=ad -bc0时可用). (3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵.,方法技巧,例1 (2017江苏南通中学期中)设矩阵A= 的逆矩阵为A-1,矩阵B满 足AB= ,求A-1,B.,解析 因为A= ,所以|A|= =-7+6=-1. 由逆矩阵公式得,A-1= . 因为AB= ,所以B=A-1AB= = .,矩阵变换的应用 利用矩阵求曲线方程或图形中相关点的坐标,再利用曲线或图形的性质 求解相关问题. 例2 (2017江苏苏北四市摸底考试)求椭圆C: + =1在矩阵A= 对应的变换作用下所得的曲线的方程.,解析 设椭圆C上的点(x1,y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x,y). 则 = = , 则 代入椭圆方程 + =1,得x2+y2=1. 所以所求曲线的方程为x2+y2=1.,
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