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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,总纲目录,教材研读,1.直线与圆的位置关系,考点突破,2.圆与圆的位置关系,考点二 圆的弦长问题,考点一 直线与圆的位置关系,考点三 圆的切线问题,考点四 圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系: 相交 、 相切 、 相离 . (2)两种研究方法:,教材研读,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= (r20).,1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是 ( ) A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心,但与圆相交 D.相离,答案 B 依题意知圆心为(-1,0),到直线x-y+1=0的距离d= =0, 所以直线过圆心.,B,2.(2016北京东城期末)已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-n)2=9(m,nR)上两个不 同的点(C为圆心),且满足| + |= ,则|AB|= ( ) A. B. C.2 D.4,答案 A 因为C为圆心,A,B在圆上,所以取AB的中点D,连接CD,则有 CDAB, + =2 ,所以|CD|= ,又因为半径R=3,所以 = = = ,即|AB|= .,A,3.(2018北京海淀期末)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点, 且OAB为正三角形,则实数m的值为 ( ) A. B. C. 或- D. 或-,答案 D 由题意知OAB是边长为1的等边三角形,则圆心到直线的 距离为 ,即 = ,所以m= ,故选D.,D,4.(2015北京朝阳一模)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一点,PA是 圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为 ( ) A.3 B. C.2 D.2,D,5.(2015北京丰台期末)已知圆C:x2+y2+2x-4y=0,那么圆心坐标是 ;如果圆C的弦AB的中点坐标是(-2,3),那么弦AB所在的直线方程是 .,答案 (-1,2);x-y+5=0,解析 圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心坐标为(-1,2).易得点 (-2,3)与圆心C(-1,2)的连线的斜率为-1,所以弦AB所在直线的斜率为1,则 弦AB所在直线的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.,考点一 直线与圆的位置关系,考点突破,典例1 (1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,(2)若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为 ( ) A.(-,+) B.(-,0) C.(0,+) D.(-,0)(0,+),方法技巧 (1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易 表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦 琐,则用代数法.(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根 据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决.,1-1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系 是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定,答案 B 因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圆心O到直线ax+ by=1的距离d= = 1.故直线与圆O相交.,B,1-2 已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点; (2)求直线l被圆C截得的最短弦长.,解析 (1)证明:由 消去y,得(k2+1)x2+(4k-2)x-7=0, 因为=(4k-2)2+28(k2+1)0, 所以无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点. (2)设直线与圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 则直线l被圆C截得的弦长|AB|= |x1-x2| =2 =2 ,令t= ,则tk2-4k+(t-3)=0, 当t=0时,k=- ; 当t0时,因为kR, 所以=16-4t(t-3)0, 解得-1t4,且t0, 故t= 的最大值为4, 此时|AB|最小,为2 .,典例2 (2017北京西城一模)圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心坐标是 ;直线l:x-y=0与圆C相交于A,B两点,则|AB|= .,考点二 圆的弦长问题,答案 (1,1);2,解析 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1, 圆心C(1,1),半径为1. 由圆心到直线l的距离d= =0,可得直线l过圆心C, |AB|=2r=2.,2-1 (2017北京通州期末)过点(2,2)的直线l与圆x2+y2+2x-2y-2=0相交于 A,B两点,且|AB|=2 ,则直线l的方程为 ( ) A.3x-4y+2=0 B.3x-4y+2=0或x=2 C.3x-4y+2=0或y=2 D.y=2或x=2,答案 C 圆x2+y2+2x-2y-2=0,即(x+1)2+(y-1)2=4,圆心坐标为(-1,1),半 径为2,若|AB|=2 ,则圆心(-1,1)到直线l距离d=1.若直线l的斜率不存在, 即x=2,此时圆心(-1,1)到直线l距离为3,不满足条件;若直线l的斜率存在, 则可设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则d= =1,解得k= 0或 ,此时直线l的方程为3x-4y+2=0或y=2,故选C.,C,2-2 (2016北京海淀期末)已知圆(x-a)2+y2=4截直线y=x-4所得的弦的长 度为2 ,则a= .,2或6,典例3 已知点P( +1,2- ),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C的切线方程; (2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.,考点三 圆的切线问题,即kx-y+1-3k=0, 则圆心C到切线的距离d= =r=2, 解得k= . 切线方程为y-1= (x-3),即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. |MC|= = ,过点M的圆C的切线长为 = =1.,3.在求过一定点的圆的切线方程时,应先判断定点与圆的位置关系,若点 在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线有两条;若点在 圆内,则切线不存在.,3-1 已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A (-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.2,答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由 直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1), 于是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.故选C.,C,3-2 (2016北京朝阳二模)已知过点M(1,1)的直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=5相 切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a= ;直线l的方程为 .,答案 ;2x-y-1=0,解析 设圆(x+1)2+(y-2)2=5的圆心为C, 则C(-1,2),易知点M在圆上,故M为切点. 由题意知直线CM与直线l垂直, 又切线l与直线ax+y-1=0垂直, 直线CM与直线ax+y-1=0平行. =-a.a= . 直线l的斜率为2,又直线l过M(1,1),直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y- 1=0.,典例4 已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.,考点四 圆与圆的位置关系,解析 (1)证明:圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1= , 圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5, r1+r2= +4,|r1-r2|=4- , |r1-r2|dr1+r2, 圆C1和圆C2相交. (2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减, 得4x+3y-23=0, 两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离 d= =3,故公共弦长为2 =2 .,4-1 (2016北京西城二模)设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x-2)2+y2=2,若在直线 l上存在一点M,使得过M的圆C的切线MP,MQ(P,Q为切点)满足PMQ= 90,则a的取值范围是 ( ) A.-18,6 B.6-5 ,6+5 C.-16,4 D.-6-5 ,-6+5 ,C,答案 C 由题意得,符合条件的点M的轨迹是圆心为(2,0),半径为2的 圆,故若要直线l上存在这样的点M, 则只需圆心到直线的距离小于或等于2, 即 2,解得-16a4.,
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