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第八节 直线与圆锥曲线,总纲目录,教材研读,1.直线与圆锥曲线位置关系的判断,考点突破,2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题,3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系,考点二 弦长问题,考点一 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用,考点三 中点弦问题,1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)与圆锥曲线r的方程F(x,y)=0联立,消去y(也可以消去x) 得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即联立 消去y(或x) 后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a0时,若 0 ,则直线l与曲线r相交;若 =0 ,则直线l 与曲线r相切;若 0 ,则直线l与曲线r相离.,教材研读,(2)当a=0时,得到一个一次方程,则直线l与曲线r相交,且只有一个交点, 此时,若r为双曲线,则直线l与双曲线的 渐近线 平行;若r为抛物线, 则直线l与抛物线的 对称轴 平行或重合.,1.椭圆的切线 (1)椭圆 + =1(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是 + =1. (2)过椭圆 + =1(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直 线方程是 + =1. (3)椭圆 + =1(ab0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2.,圆锥曲线的切线方程,2.双曲线的切线方程 (1)双曲线 - =1(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是 - =1. (2)过双曲线 - =1(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所 在直线方程是 - =1. (3)双曲线 - =1(a0,b0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2= C2.,3.抛物线的切线方程 (1)抛物线y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0). (2)抛物线y2=2px(p0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方 程是y0y=p(x+x0). (3)抛物线y2=2px(p0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.,直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p0)为例,那么|AB|= x1+x2+p .,3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系 (1)已知AB是椭圆 + =1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运 用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在椭圆上, 两式相减得 + =0, + =0, =- =- ,故kAB=- . (2)已知AB是双曲线 - =1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x,2,弦中点M(x0,y0),则与(1)同理可知kAB= . (3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中 点M(x0,y0). 则 两式相减得 - =2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), = = ,即kAB= .,1.直线y=kx-k+1与椭圆 + =1的位置关系为 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,答案 A 由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故 直线与椭圆必相交.,A,2.直线y= x+3与双曲线 - =1的交点个数是 ( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0,答案 A 因为直线y= x+3与双曲线的渐近线y= x平行,所以它与双 曲线只有1个交点.,A,3.双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则 直线l与双曲线C的左,右两支都相交的充要条件是 ( ) A.k- B.k 或k- D.- k,答案 D 由双曲线的渐近线的几何意义知- k .,D,4.(2015北京怀柔一中3月模拟)已知直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px (p0)的焦点,直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AB|=6,则p的值为 ( ) A. B. C.1 D.2,答案 B 由 得x2-(2m+2p)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2 =2m+2p,又直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点 , -0- m=0,解得m= ,又|AB|=x1+ +x2+ =x1+x2+p=2m+3p=4p=6,p= ,故选B.,B,5.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 条.,答案 3,3,典例1 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(ab0)的左焦 点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,考点一 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用,考点突破,方法技巧 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交 点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利 用判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一 元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次 方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.,1-1 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取 值范围是 ( ) A. B. C. D.,D,答案 D 由 消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0, 直线与双曲线右支交于不同的两点, 解得- k-1.,1-2 若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的 取值集合.,解析 因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程组 有唯一一组实数解,消去y,得(a+1)x-12=ax,整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0. (1)当a+1=0,即a=-1时,方程是关于x的一元一次方程,解得x=-1,这时,原 方程组有唯一解,(2)当a+10,即a-1时,方程是关于x的一元二次方程,判别式= -(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4),令=0,解得a=0或a=- . 当a=0时,原方程组有唯一解 当a=- 时,原方程组有唯一解 综上,实数a的取值集合是 .,令=2m2-4(m2-2)0,解得-2m2. 设A(x1,y1),B(x2,y2).,方法技巧 弦长的求解 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B (x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|= = |x1-x2|= |y1-y2|(k0). (3)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.,2-1 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0 时,AB=4. (1)求椭圆的方程; (2)若|AB|+|CD|= ,求直线AB的方程.,解析 (1)由题意知e= = ,2a=4. 又a2=b2+c2,解得a=2,b= ,c=1, 所以椭圆方程为 + =1. (2)当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的 斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件. 当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x -1),A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线CD的方程为y=- (x-1).,将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 则x1+x2= ,x1x2= , 所以|AB|= |x1-x2| = = . 同理,|CD|= = , 所以|AB|+|CD|= + = = ,解得k=1, 所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.,典例3 抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于 A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为 ( ) A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x,考点三 中点弦问题,B,方法技巧 处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式 中含有x1+x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的 斜率,借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,转化为一元二次方程 后由根与系数的关系求解.,3-1 已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线l:y=-kx+ 对称, 求k的取值范围.,解析 由题意知k0,设M(x1, ),N(x2, ), 因为MNl,所以 = ,即x1+x2= . 又MN的中点在l上,所以 =-k + =-k + =4, 因为MN的中点必在抛物线内, 所以 ,即4 , 所以k2 ,即k 或k- , 故k的取值范围是 .,
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