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第五节 椭圆,总纲目录,教材研读,1.椭圆的定义,考点突破,2.椭圆的标准方程和几何性质,3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系,考点二 椭圆的几何性质,考点一 椭圆的定义及标准方程,考点三 直线与椭圆的位置关系,1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的 焦距 . 集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数. (1)若 ac ,则集合P表示椭圆; (2)若 a=c ,则集合P表示线段;,教材研读,(3)若 ac ,则集合P为空集.,2.椭圆的标准方程和几何性质,3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系 (1)P(x0,y0)在椭圆内 + 1.,1.(2015北京丰台一模)椭圆x2+my2=1(m0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴 长的2倍,则m等于 ( ) A. B.2 C.4 D.,答案 D 由x2+ =1(m0)及题意知,2 =221,解得m= ,故选D.,D,2.已知F1,F2是椭圆 + =1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点. 在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 A 根据椭圆的定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边 的长度为16-10=6.,A,3.(2016北京东城二模)如图,在由边长为m的正方形组成的网格中有椭 圆C1,C2,C3,它们的离心率分别为e1,e2,e3,则 ( ) A.e1=e2e3 D.e2=e3e1,D,答案 D 建立如图所示的坐标系,椭圆方程可设为 + =1(ab0). C1中:a=2m,b=1.5m, = ; C2中:a=4m,b=2m, = ;,C3中:a=6m,b=3m, = . 又e= = = ,e2=e3e1.,4.(2015北京门头沟一模)椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若 PF1F2的面积的最大值为12,则该椭圆的标准方程为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,答案 A 根据题意可设椭圆方程为 + =1(ab0),P(x0,y0),则PF1 F2的面积为 |F1F2|y0|= 8|y0|=4|y0|4b,所以4b=12,解得b=3,又c=4,所 以a2=b2+c2=25,故该椭圆的标准方程为 + =1,故选A.,A,5.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程 是 .,+ =1,典例1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且 和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( ) A. - =1 B. + =1 C. - =1 D. + =1 (2)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 , 过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,考点一 椭圆的定义及标准方程,考点突破,答案 (1)D (2)A (3)3,解析 (1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=81 6,动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c =4,b2=48,故所求的轨迹方程为 + =1. (2)由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,c=1,b2=2, C的方程为 + =1. (3)|PF1|+|PF2|=2a, , |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,1-1 一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2, )是椭圆上一点, 且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,A,答案 A 设椭圆的标准方程为 + =1(ab0).由点P(2, )在椭圆 上知 + =1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a= 22c, = ,又c2=a2-b2,联立 得a2=8,b2=6, 故椭圆方程为 + =1.,1-2 (2015北京东城一模)椭圆C: +y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐 标原点,四边形OMPN的周长为2 ,则PF1F2的周长是 ( ) A.2 +2 B. +2 C. + D.4+2,A,答案 A 因为O,M分别为F1F2和PF1的中点,所以OMPF2,且|OM|= |PF2|,同理,ONPF1,且|ON|= |PF1|,所以四边形OMPN为平行四边形,由 题意知,|OM|+|ON|= ,故|PF1|+|PF2|=2 ,即2a=2 ,a= ,由a2=b2+c2知 c2=a2-b2=2,即c= ,所以|F1F2|=2c=2 ,故PF1F2的周长为2a+2c=2 + 2 ,故选A.,(2)已知动点P(x,y)在椭圆 + =1上,若A点的坐标为(3,0),| |=1,且 =0,则| |的最小值为 .,方法技巧 求椭圆离心率的常用方法 (1)直接求出a,c,利用定义求解. (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解. (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.,2-1 (2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若 椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc= a ,所以e= = .故选B.,B,2-2 已知F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的 一个动点,那么| + |的最小值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.2,答案 C 设P(x0,y0), 则 =(-1-x0,-y0), =(1-x0,-y0), + =(-2x0,-2y0), | + |= =2 =2 . 点P在椭圆上,0 1, 当 =1时,| + |取最小值,为2.,C,方法技巧 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方 程与椭圆方程联立,消元,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关 问题,涉及弦中点的问题常用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= = (k为直线斜率,k0). 提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行 的,不要忽略判别式.,解析 (1)设椭圆C1的焦距为2c1,长轴长为2a1,短轴长为2b1,设椭圆C2的 焦距为2c2,长轴长为2a2,短轴长为2b2, 依题意得 解得 所以椭圆C1的标准方程为 +y2=1, 椭圆C2的标准方程为 + =1. (2)|AC|=|BD|.,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, 所以有x1+x4=- , 所以有弦AD的中点与弦BC的中点重合, 所以有|AC|=|BD|.,
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