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第九节 圆锥曲线的综合问题,总纲目录,考点突破,考点二 圆锥曲线中的定点、定值问题,考点一 圆锥曲线中的范围、最值问题,考点三 圆锥曲线中的探索性问题,考点一 圆锥曲线中的范围、最值问题,考点突破,典例1 (2018北京东城期末)已知椭圆C: + =1(ab0)的右焦点F(1, 0)与短轴两个端点的连线互相垂直. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设点Q为椭圆C上一点,过原点O且垂直于QF的直线与直线y=2交于 点P,求OPQ的面积S的最小值.,解析 (1)由题意,得 解得a= . 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设Q(x0,y0),P(m,2),则 + =1. 当m=0时,点P(0,2),Q点坐标为(- ,0)或( ,0), S= 2= . 当m0时,直线OP的方程为y= x,即2x-my=0, 直线QF的方程为y=- (x-1). 点Q(x0,y0)到直线OP的距离d= ,方法技巧 圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有 两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几 何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何 量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、基本 不等式方法等进行求解.,1-1 (2017北京朝阳一模)过点A(1,0)的直线l与椭圆C: +y2=1相交于E, F两点,自E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1. (1)当直线l的斜率为1时,求线段EF的中点坐标; (2)记AEE1,AFF1的面积分别为S1,S2.设=S1S2,求的取值范围.,解析 (1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,由 得2x2-3x=0. 设E(x1,y1),F(x2,y2),线段EF的中点为M(x0,y0), 则x1+x2= ,则x0= , y0=x0-1=- . 所以M . (2)设直线l的方程为x=my+1,由 得(m2+3)y2+2my-2=0,显然mR. 设E(x1,y1),F(x2,y2),则E1(3,y1),F1(3,y2). 则y1+y2= ,y1y2= .,典例2 (2016北京,19,14分)已知椭圆C: + =1过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率; (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB 与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.,考点二 圆锥曲线中的定点、定值问题,解析 (1)由题意得,a=2,b=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. 又c= = , 所以离心率e= = . (2)证明:设P(x0,y0)(x00,y00),则 +4 =4. 又A(2,0),B(0,1), 所以,直线PA的方程为y= (x-2). 令x=0,得yM=- , 从而|BM|=1-yM=1+ .,2-1 (2016北京东城期末)已知椭圆C: + =1(ab0)过点(0, ),且满 足a+b=3 . (1)求椭圆C的方程; (2)斜率为 的直线交椭圆C于两个不同点A,B,点M的坐标为(2,1),设直线 MA与MB的斜率为k1,k2. 若直线过椭圆C的左顶点,求此时k1,k2的值; 试探究k1+k2是否为定值,并说明理由.,解析 (1)由椭圆过点(0, ),得b= . 因为a+b=3 , 故a=2 . 所以椭圆C的方程为 + =1. (2)若直线过椭圆的左顶点, 则直线的方程是l:y= x+ , 由 解得 或 故k1=- ,k2= .,k1+k2为定值,且k1+k2=0. 设直线的方程为y= x+m.,由 消去y,得x2+2mx+2m2-4=0.,当=4m2-8m2+160,即-2m2时,直线与椭圆交于两点. 设A(x1,y1),B(x2,y2),典例3 (2017北京海淀一模)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶 点分别为A、B,且|AB|=4,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)设点Q(4,0),若点P在直线x=4上,直线BP与椭圆交于另一点M,是否存 在点P,使得四边形APQM为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说 明理由.,考点三 圆锥曲线中的探索性问题,因为点M在直线PB上,所以y1= (x1-2), 将代入得, = ,显然y00,解得x1=1. 由点M在椭圆上,得 + =1,所以y1= , 即M ,将其代入,解得y0=3, 所以P(4,3).,方法技巧 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下:假设满足条件的 元素(点、直线、曲线或参数)存在,列出与该元素相关的方程(组),若方 程(组)有实数解,则元素存在,否则,元素不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.,3-1 (2017北京丰台一模)已知P(0,1)是椭圆C: + =1(ab0)上一点, 点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为2 . (1)求椭圆C的方程; (2)设A,B是椭圆C上异于点P的两点,直线PA与直线x=4交于点M,是否存 在点A,使得SABP= SABM?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.,解析 (1)由椭圆C: + =1(ab0)过点P(0,1)可得b=1, 由点P到两个焦点的距离之和为2 ,可得a= , 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)存在.理由如下:假设存在点A,使SABP= SABM. 依题意得直线PA的斜率存在且不为零. 设A(m,n)(m0),则直线PA的方程为y= x+1, 令x=4,得y= +1,即M . 由题意得,点A在y轴右侧, 所以SABP= SABM等价于 = ,从而 = = , 因为点A在y轴的右侧,所以 = ,解得m= , 由点A在椭圆上,解得n= , 于是存在点A ,使得SABP= SABM.,
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