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第七节 抛物线,总纲目录,教材研读,1.抛物线的概念,考点突破,2.抛物线的标准方程和几何性质,考点二 抛物线的定义及其应用,考点一 抛物线的标准方程及其几何性质,考点三 焦点弦问题,考点四 直线与抛物线的位置关系,1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等 的点 的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 .直线l叫做抛物线的 准线 .,教材研读,2.抛物线的标准方程和几何性质,抛物线的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)x1x2= ,y1y2=-p2; (2)|AF|= ,|BF|= ,弦长|AB|=x1+x2+p= (为弦AB的倾斜 角); (3) + = ; (4)以弦AB为直径的圆与准线相切.,1.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程 为 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y,答案 C P到F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此P到F(0,2) 的距离与它到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准 线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.,C,2.(2015北京海淀一模)抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 ( ) A. B.1 C.2 D.4,答案 C 由抛物线x2=4y得2p=4,p=2,所以焦点到准线的距离为2.,C,3.(2018北京丰台期末)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A在y轴上,线段AF 的中点B在抛物线上,则|AF|= ( ) A.1 B. C.3 D.6,答案 C 设点A(0,y0),由抛物线y2=4x知F(1,0), 则点B的坐标为 , 点B在抛物线上, =4 =2, =8, |AF|= =3,故选C.,C,4.(2016北京海淀一模)已知点P(x0,y0)在抛物线W:y2=4x上,且点P到W的 准线的距离与点P到x轴的距离相等,则x0的值为 ( ) A. B.1 C. D.2,答案 B 由题意得点P到准线x=-1的距离为x0+1, 点P到x轴的距离为|y0|,|y0|=x0+1. 又 =4x0, x0=1.,B,5.(2015北京海淀二模)以坐标原点为顶点,(-1,0)为焦点的抛物线的方程 为 .,y2=-4x,6.(2017北京海淀一模)若抛物线y2=2px的准线经过双曲线x2- =1的左 焦点,则实数p= .,4,典例1 (1)(2017北京朝阳一模)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为 抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为 ,那么|PF|= ( ) A.8 B.16 C.4 D.8 (2)(2016北京朝阳期末)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦 点F,且与y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方 程为 ( ) A.y2=4x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=8x,考点一 抛物线的标准方程及其几何性质,考点突破,答案 (1)A (2)C,解析 (1)设P(x0,y0), 由题意知A(-2,y0),|PA|=2+x0,F(2,0). 直线AF的斜率为 ,点F到准线的距离为p=4, AF的倾斜角为60,|AF|= =8.,|AF|2=(-2-2)2+ =64. =48,又 =8x0, x0=6,|PA|=2+x0=8. 由抛物线定义可知|PF|=|PA|=8. 故选A. (2)当a0时,F , 则l:y=2 ,A , S= |OF|OA|= =4,a=8. 当a0时,F ,则l:y=2 ,A , S= |OF|OA|= =4,a=-8. 抛物线方程为y2=8x.,方法技巧 (1)抛物线的标准方程有四种不同的形式,要掌握焦点到准线的距离,顶 点到准线、焦点的距离,通径长与标准方程中系数2p的关系. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可 设为y2=mx或x2=my(m0). (3)焦点到准线的距离简称为焦准距,抛物线y2=2px(p0)上的点常设为 .,1-1 已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两 点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为 ( ) A.18 B.24 C.36 D.48,答案 C 不妨设抛物线方程为y2=2px(p0). 当x= 时,|y|=p,p= = =6. 又P到直线AB的距离为p, SABP= 126=36.,C,1-2 若抛物线的焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点,求抛物线的标 准方程.,解析 对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=4,所以抛物线 的焦点坐标为(0,-3)或(4,0). 当焦点坐标为(0,-3)时,设方程为x2=-2py(p0),则 =3,所以p=6,此时抛物 线的标准方程为x2=-12y; 当焦点坐标为(4,0)时,设方程为y2=2px(p0),则 =4, 所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x. 所以所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.,典例2 (1)(2015北京丰台二模)抛物线y2=4x的焦点为F,经过F的直线与 抛物线在x轴上方的部分相交于点A,与准线l交于点B,且AKl于K,如果| AF|=|BF|,那么AKF的面积是 ( ) A.4 B.3 C.4 D.8 (2)(2016北京石景山一模)已知抛物线y2=4x的动弦AB的中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12 (3)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值是 .,考点二 抛物线的定义及其应用,解析 (1)设准线l与x轴的交点为M,则|MF|=p=2, 因为|AF|=|BF|,所以|AK|=2|MF|=2p,由抛物线定义知|AF|=|AK|,所以|AF|=| BF|=2p. 在RtAKB中,KB= =2 p,所以KAF=60,所以AKF为等 边三角形,因此三角形AKF的面积为S= (2p)2= p2=4 ,故选C.,答案 (1)C (2)B (3)2,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),F为焦点. 如图,过点A作AG准线于G, 过点B作BH准线于H. 根据抛物线的定义,得|AF|=|AG|=x1+1, |BF|=|BH|=x2+1. |AF|+|BF|AB|,(x1+1)+(x2+1)|AB|. (x1+x2)+2|AB|. AB中点的横坐标为2,x1+x2=4. |AB|6. 故|AB|的最大值为6.,(3)易知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P 到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦 点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是 =2.,方法指导 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛 物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度. “看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问 题的重要途径.,2-1 已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则x0= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案 A 由y2=x得2p=1,即p= ,因此焦点F ,准线方程为l:x=- ,设 点A到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+ = x0,解得x0 =1,故选A.,A,2-2 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A. B.3 C. D.,答案 A 易知抛物线y2=2x的焦点为F ,由抛物线的定义知点P到 焦点F的距离等于它到准线的距离,因此求点P到点(0,2)的距离与点P到 抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离 与点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形不难得出相应的最小值 就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 = ,选A.,A,2-3 如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则 = .,1+,解析 由题意知|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b, 故C ,F , 又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点, -2 -1=0,又 1, =1+ .,答案 1+,(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,又x1x2, 从而x1=1,x2=4,y1=-2 ,y2=4 , 从而A(1,-2 ),B(4,4 ). 设 =(x3,y3)=(1,-2 )+(4,4 )=(4+1,4 -2 ),又 =8x3,即2 (2 -1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.,方法指导 求抛物线焦点弦的三种方法 定义法:|AB|=x1+x2+p; 倾斜角法:|AB|= (为AB的倾斜角); 斜率法:|AB|= 2p(k为AB的斜率).,3-1 设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B 两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.证明:直线AC经过原点O.,典例4 已知抛物线y2=2px(p0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A、B两 点,坐标原点为O, =12. (1)求抛物线的方程; (2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.,考点四 直线与抛物线的位置关系,由得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2, 解得m2=3,即m= , 所以直线l的方程为x+ y+2=0或x- y+2=0.,方法指导 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似, 一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线相交的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦 点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=|xA|+|xB|+p或|AB|=|yA|+|yB|+p, 若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数 的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,4-1 (2015北京朝阳二模)已知点A为抛物线C:x2=4y上的动点(不含原 点),过点A的切线交x轴于点B,设抛物线C的焦点为F,则ABF ( ) A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.上述三种情况都有可能,A,答案 A 设点A ,则抛物线x2=4y在点A处的切线的斜率k= , 则切线方程为y- = (x-x0), 令y=0,得x= , 即B ,又因为点F(0,1), 所以 = , = , 所以 = +(-1) =0, 所以FBAB,故选A.,4-2 已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点. (1)若 =2 ,求直线AB的斜率; (2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形 OACB面积的最小值.,
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