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第二节 导数与函数的单调性,总纲目录,教材研读,函数的导数与单调性的关系,考点突破,考点二 利用导数求函数的单调区间,考点一 利用导数判断（证明）函数的单调性,考点三 已知函数的单调性求参数的范围,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递增 ; (2)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递减 ; (3)若f (x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数 .,教材研读,1.已知函数f(x)的导函数f (x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可 能是 ( ),D,答案 D 由题图可知,当xx1时,由导函数f (x)=ax2+bx+c0知相应的函数f(x)在该区间上单 调递增.,2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+),答案 D 由f(x)=(x-3)ex,得f (x)=(x-2)ex, 令f (x)0,得x2,故f(x)的单调递增区间是(2,+).,D,3.下列函数中,在(0,+)上为增函数的是 ( ) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x,答案 B 对于A,易得f(x)=sin 2x的单调递增区间为 (k Z);对于B, f (x)=ex(x+1),当x(0,+)时, f (x)0,函数f(x)=xex在(0,+) 上为增函数;,B,对于C, f (x)=3x2-1,令f (x)0,得x 或x0,得0x1, 函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.综上所述,应选B.,4.(2015北京四中期中)若函数f(x)=x2+ (aR),则下列结论正确的是 ( ) A.aR, f(x)在(0,+)上是增函数 B.aR, f(x)在(0,+)上是减函数 C.aR, f(x)是偶函数 D.aR, f(x)是奇函数,答案 C 函数f(x)=x2+ (aR),f (x)=2x- = ,当x(0,+) 时,2x3-a0不恒成立,即f (x)0不恒成立,f(x)在(0,+)上不恒为增函 数,A不正确;也不存在aR,使得2x3-a0在(0,+)上恒成立,即f (x)0 不恒成立,B不正确;当a=0时, f(x)=x2为R上的偶函数,故C正确;f(-x)+ f(x)=(-x)2+ +x2+ =2x20,不存在aR,使f(x)为奇函数,D不正确. 故选C.,C,5.已知函数f(x)= -(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上为单调递增函数,则 实数m的取值范围是 .,答案 2,4,解析 f (x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7, 由题意可得f (x)0在xR 上恒成立,2,4,所以=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)=4(m2-6m+8)0, 解得2m4.,考点一 利用导数判断(证明)函数的单调性,考点突破,典例1 (2015北京朝阳一模改编)已知函数f(x)= ex,aR. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程; (2)当a=-1时,求证:f(x)在(0,+)上为增函数.,解析 函数f(x)的定义域为x|x0, f (x)= ex. (1)当a=0时, f(x)=xex, f (x)=(x+1)ex, 所以f(1)=e, f (1)=2e. 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0. (2)证明:当a=-1时, f (x)= ex(x0). 令g(x)=x3+x2-x+1, 则g(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1), 令g(x)=(3x-1)(x+1)0,得x , 令g(x)=(3x-1)(x+1)0,得0x ,所以函数g(x)在 上是减函数,在 上是增函数,所以函数g(x)在 x= 处取得最小值,且g = 0, 所以g(x)在(0,+)上恒大于零, 于是,当x(0,+)时, f (x)= ex0恒成立, 所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+)上为增函数.,方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 求f (x). 确定f (x)在(a,b)内的符号. 作出结论:f (x)0时为增函数;f (x)0时为减函数. 提醒 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解 集的影响进行分类讨论.,1-1 已知函数f(x)=ax3+x2(xR)在x=- 处取得极值. (1)确定a的值; (2)若函数g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.,解析 (1)对f(x)求导得f (x)=3ax2+2x, 因为f(x)在x=- 处取得极值, 所以f =0, 即3a +2 = - =0, 解得a= . (2)由(1)得g(x)= ex, 故g(x)= ex+ ex = ex= x(x+1)(x+4)ex.,令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4. 当x0,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数, 在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,解析 (1)因为函数f(x)=xln x, 所以f (x)=ln x+x =ln x+1, f (1)=ln 1+1=1.又因为f(1)=0, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=x-1. (2)函数f(x)=xln x的定义域为(0,+), 由(1)可知, f (x)=ln x+1. 令f (x)=0,解得x= . f(x)与f (x)在区间(0,+)上的变化情况如下:,所以,f(x)的单调递增区间是 ; f(x)的单调递减区间是 . (3)当 xe时,“f(x)ax-1”等价于“aln x+ ”. 令g(x)=ln x+ ,x , 则g(x)= - = ,x . 当x 时,g(x)0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增. 而g =-ln e+e=e-11.5,g(e)ln e+ =1+ 1.5. 所以g(x)在区间 上的最大值为g =e-1. 所以当ae-1时,对于任意x ,都有f(x)ax-1.,方法技巧 利用导数求函数单调区间的两个方法 方法一: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 方法二: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x),令f (x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根,按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成 若干个小区间; (4)确定f (x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内 的单调性.,2-1 (2017北京东城二模)设函数f(x)=(x-a)ex,aR. (1)当a=1时,试求f(x)的单调增区间; (2)试求f(x)在1,2上的最大值.,解析 (1)对f(x)=(x-a)ex求导得f (x)=(x-a+1)ex, 当a=1时, f (x)=xex,令f (x)0,得x0, 所以f(x)的单调增区间为(0,+). (2)f (x)=(x-a+1)ex. 令f (x)=0,得x=a-1. 所以当a-11,即a2时,在1,2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递增; 当a-12,即a3时,在1,2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递减; 当10, f(x)单调递增. 综上,无论a为何值,当x1,2时, f(x)的最大值都为f(1)或f(2). f(1)=(1-a)e, f(2)=(2-a)e2,f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e). 所以当a = 时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(1)=(1-a)e. 当a = 时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(2)=(2-a)e2.,解析 (1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1), 又f (x)=x2+2x+a,所以f (0)=a=-3, 所以f (x)=x2+2x-3. 令f (x)=0,解得x1=-3,x2=1. 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-3),(1,+), 单调递减区间为(-3,1). (2)当函数f(x)在区间-2,a上单调递减时, f (x)0对x-2,a恒成立, 即f (x)=x2+2x+a0对x-2,a恒成立, 所以 即 解得-3a0. 又-2a,所以-2a0. 当函数f(x)在区间-2,a上单调递增时, f (x)0对x-2,a恒成立, 只要f (x)=x2+2x+a在-2,a上的最小值大于或等于0即可, 易知函数f (x)=x2+2x+a图象的对称轴为x=-1,2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为 先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.,3-1 (2018北京朝阳高三期中)已知函数f(x)=kx- -(k+1)ln x,kR. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当k0时,若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求k的取值范围.,解析 (1)函数f(x)的定义域为x|x0. f (x)=k- + = = . 当k0时,令f (x)0,解得01,此时函数f(x)为单调递减函数. 当k0时,当 1时, 令f (x)0,解得01, 此时函数f(x)为单调递增函数; 令f (x)1,即0k1时,令f (x)0,解得0 ,此时函数f(x)为单调递增函数; 令f (x)1时,函数f(x)的单调递增区间为 ,(1,+),单调递减区间为 .,(2)f (x)= , 因为函数f(x)在(1,2)内单调递减,所以不等式 0在(1,2)上恒 成立. 令g(x)=(kx-1)(x-1), 则 即 解得0k .,
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