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第一节 变化率与导数、导数的计算,总纲目录,教材研读,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率,考点突破,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数,3.函数f(x)的导函数,考点二 导数的几何意义,考点一 导数的运算,4.基本初等函数的导数公式,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ,若x=x2-x1,y= f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 .,教材研读,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数 y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即f (x0)= = . (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (x0, f(x0) 处的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-f(x0)=f （ x0)(x-x0) .,3.函数f(x)的导函数 称函数f (x)= 为f(x)的导函数,导函数有时也记作y.,4.基本初等函数的导数公式,5.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= f (x)g(x) ; (2)f(x)g(x)= f (x)g(x)+f(x)g(x) ; (3) = (g(x)0).,1.下列求导运算正确的是 ( ) A. =1+ B.(log2x)= C.(3x)=3xlog3e D.(x2cos x)=-2sin x,答案 B =x+ =1- ;(3x)=3xln 3; (x2cos x)=(x2)cos x+x2(cosx)=2xcos x-x2sin x.故选B.,B,2.若f(x)=ax4+bx2+c满足f (1)=2,则f (-1)= ( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4,答案 B f(x)=ax4+bx2+c, f (x)=4ax3+2bx, 又f (1)=2,4a+2b=2, f (-1)=-4a-2b=-2.,B,3.(2016北京东城期中)若曲线f(x)=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴, 则a= .,答案,解析 f (x)=2ax- ,则f (1)=2a-1,由题意得2a-1=0,所以a= .,4.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 .,答案 3x-y+1=0,解析 对函数y=xex+2x+1求导得y=(x+1)ex+2,当x=0时,y=3,因此曲线y= xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即3x-y+1=0.,3x-y+1=0,5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f (5)= .,答案 2,解析 由题意知f (5)=-1, f(5)=-5+8=3,f(5)+f (5)=3-1=2.,2,考点突破,解析 (1)y=cos =cos sin -cos2 = sin x- (1+cos x) = (sin x-cos x)- , y= (cos x+sin x)= sin . (2)y=exln x+ex =ex .,1-1 已知f(x)= x2+2xf (2 016)+2 016ln x,则f (2 016)= .,答案 -2 017,解析 由题意得f (x)=x+2f (2 016)+ , 所以 f (2 016)=2 016+2f (2 016)+ ,即f (2 016)=-(2 016+1)=-2 017.,-2 017,解析 (1)解法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,y=24x3+9x2-16x-4.,解法二:y=(3x3-4x)(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)2=24x3+ 9x2-16x-4. (2)y= = = . (3)y=(ex)ln x+ex(ln x)+(2x)+0 =exln x+ +2xln 2.,考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程,典例2 (2016北京东城(上)期中)曲线f(x)= 在点(1, f(1)处的切线方 程是 ( ) A.y=1 B.y= C.x+y=1 D.x-y=1,答案 B 由题意得f (x)= , 故曲线f(x)= 在点(1, f(1)处的切线斜率k=f (1)=0,易知切点为 , 所以切线方程为y= ,故选B.,B,命题角度二 求切点坐标 典例3 (1)(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . (2)(2016北京东城(上)期中)若过曲线f(x)=xln x上的点P的切线斜率为2, 则点P的坐标为 .,答案 (1)(1,1) (2)(e,e),解析 (1)函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- , 易知k1k2=-1,即1 =-1, 解得 =1,又x00,x0=1. 又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1). (2)设切点P(m,n),由题意得f (x)=1+ln x,由曲线f(x)=xln x在点P处的切线,斜率为2,得1+ln m=2,解得m=e,n=mln m=eln e=e,点P的坐标为(e,e).,命题角度三 求参数的值 典例4 (1)(2015课标,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1) 处的切线过点(2,7),则a= . (2)(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2 +(a+2)x+1相切,则a= .,答案 (1)1 (2)8,易错警示 求函数图象的切线方程的注意事项 (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点设出. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点代入两者的函数解 析式建立方程组. (3)在切点处的导数值对应切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件. (4)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点.如y=x3在(1,1)处的切线与 y=x3的图象还有一个交点(-2,-8).,2-1 设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f (x),且f (x)是偶函 数,则曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 .,答案 9x-y-16=0,9x-y-16=0,2-2 (2015北京丰台二模)曲线y=x3-x2-x+1在点(0,1)处的切线方程是 .,答案 y=-x+1,解析 y=3x2-2x-1,所以y|x=0=-1,则切线的斜率k=-1,故可得切线方程为y= -x+1.,y=-x+1,2-3 (2014北京朝阳期中)曲线f(x)=ex在点(x0, f(x0)处的切线经过点P(1, 0),则x0= .,答案 2,解析 因为f (x)=ex,所以f (x0)= ,所以f(x)在点(x0, f(x0)处的切线方程为 y- = (x-x0),将点P(1,0)代入y- = (x-x0),解得x0=2.,2,
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