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第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题,总纲目录,教材研读,1.二元一次不等式表示的平面区域,考点突破,2.线性规划的有关概念,考点二 目标函数的最值与范围问题,考点一 二元一次不等式（组）表示的平面区域,考点三 线性规划的实际应用,1.二元一次不等式表示的平面区域 一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+ By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成 虚线 以 表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所 表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线 . 对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得,教材研读,到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0), 由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0)表示直线哪一侧的平面 区域.,2.线性规划的有关概念,1.(2017北京丰台一模)在平面直角坐标系xOy中,与原点位于直线3x+2y+ 5=0同一侧的点是 ( ) A.(-3,4) B.(-3,-2) C.(-3,-4) D.(0,-3),答案 A 当x=0,y=0时,0+0+50, 对于A,当x=-3,y=4时,-9+8+50,故满足题意. 同理,B、C、D均不满足题意,故选A.,A,2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最 大值为 ( ) A.-1 B.3 C.7 D.8,C,3.(2017北京东城二模)在平面直角坐标系中,不等式组 所表示 的平面区域的面积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,A,答案 A 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分. 由 得A(1,1). 故所求面积S= 21=1.故选A.,4.(2016北京海淀一模)若x,y满足 则z= x+y的最大值为( ) A. B.3 C. D.4,C,答案 C 画出不等式组表示的平面区域如图所示. 将目标函数z= x+y变形为y=- x+z. 先画出l0:y=- x.将l0向上平移至经过点A时z有最大值, 联立 得A(1,3). 故zmax= 1+3= .,5.(2016北京海淀期末)若点(2,-3)不在不等式组 表示的平面 区域内,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,0) B.(-1,+) C.(0,+) D.(-,-1),B,答案 B 画出不等式组表示的平面区域如图所示. 因为点(2,-3)不在不等式组 表示的平面区域内,则点(2,-3)在 直线ax-y-1=0的下方, 故-3-1.,考点突破,答案 (1)B (2)(-,-20,1),解析 (1)作出可行域,如图所示. 易知B(-2,0),由 得 故A(1, ). SAOB= 2 = .,故选B. (2)不等式组 所表示的平面区域为图中AOB及其内部. 2x-y=k可化为y=2x-k. 当k=0时,区域D为三角形,符合题意.,当k0时,将y=2x向下平移,直到经过点B(1,1)时,区域D由三角形缩为 一个点B,将B(1,1)代入y=2x-k得k=1. 若要满足题意,则0k1. 当k0时,将y=2x向上平移,此时2x-yk取含有原点的一侧(包括直线2 x-y=k).开始平移时,区域D为四边形,直到平移至经过点A(0,2)时,区域D 变为三角形AOB,继续向上平移,区域D始终为AOB. 将A(0,2)代入y=2x-k得k=-2.k-2. 综上,k的取值范围是(-,-20,1).,方法技巧 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式.若 满足不等式,则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区 域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即 为各不等式所表示的平面区域的公共部分. (2)当不等式中不等号为或时,边界应画为实线,不等号为或时,边 界应画为虚线,特殊点常取原点.,1-1 (2016北京顺义一模)在平面直角坐标系中,若不等式组 (a为常数)表示的区域面积为3,则a的值为 ( ) A.-5 B.-2 C.2 D.5,D,答案 D 不等式组 (a为常数)表示的区域如图所示.由题 意知阴影部分的面积等于3, AC=6. 点C的坐标为(1,6). 代入ax-y+1=0得a-6+1=0,解得a=5. 故选D.,1-2 (2018北京西城高三期末)已知点M(x,y)的坐标满足条件 设O为原点,则|OM|的最小值是 .,典例2 (1)(2016北京西城二模)设x,y满足约束条件 则z=x+3y的 最大值是 ( ) A. B. C.- D.1 (2)(2015北京丰台一模)若变量x,y满足约束条件 则z=x+2y的 最大值是 .,考点二 目标函数的最值与范围问题 命题角度一 转化为截距,答案 (1)B (2)6,解析 (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 画出l0:x+3y=0. 将l0向上平移至经过点A时z最大.,由 解得 A . zmax= +3 = . (2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略),易 知当z=x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z取得最大值,即zmax=2+22=6.,答案,解析 作出可行域,如图中阴影部分所示. 表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的连线的斜率,易得直线AO斜率最 大,由 解得A . = .,答案 5;,解析 作出可行域,如图中阴影部分所示. x2+y2的几何意义是可行域内的点(x,y)到原点距离的平方.连接OC.易得 线段CO最长,C(1,2),CO= , (x2+y2)max=5. 过点O作直线2x+y-2=0的垂线,垂足为D,易得线段OD最短,由SOAB= 1 2= ODOD= . (x2+y2)min= = .,答案 C,C,2-1 (2015北京西城二模)已知x,y满足 若z=x+my的最大值为 , 则实数m= .,答案 2,2,解析 在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域,可知该区域 是以点(0,0), , 为顶点的三角形区域(包含边界),显然m0,1, 当- 1,不符合题意;当-11时,目标函数z=x+my 在点 处取得最大值,则有 = + m,解得m=2,符合题意;当- 1,即 -1m0,不符合题意;当0- 1,即m-1时,目标函数z=x+my在点(0,0) 处取得最大值,且zmax=0,不符合题意.综上所述,实数m的值为2.,典例6 (2016北京西城一模)在某校冬季长跑活动中,学校要给获得 一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖 和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比 值不得高于 ,且获得一等奖的人数不能少于2人,那么下列说法中错误 的是 ( ) A.最多可以购买4份一等奖奖品 B.最多可以购买16份二等奖奖品 C.购买奖品至少要花费100元 D.共有20种不同的购买奖品方案,考点三 线性规划的实际应用,D,答案 D 解析 设一等奖人数为x,二等奖人数为y,由题意有 即 如图,阴影部分中的整数点即为可行解.,易得A(4,12),B(2,6),C(2,16),由平面区域知2x4,6y16. 故最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品. 设目标函数为z=20x+10y,经过点B(2,6)时z有最小值, zmin=202+610=100,故购买奖品至少花费100元.综上A,B,C正确.而 该平面区域内有整数点18个:(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(2,11),(2,12),(2,13),(2,14),(2,15),(2,16),(3,9),(3,10),(3,11),(3,12),(3,13),(3,14),(4,12),故共 有18种不同的购买奖品方案.D错误.,方法技巧 解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答.,3-1 (2015北京西城一模)某赛事组委会要为获奖者订购某工艺品作为 奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件,制作一等奖和二等奖奖品所 用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异,现有甲、乙两个工厂可 以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有 限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,甲、乙两厂的具 体收费情况如下表:,则组委会定购该工艺品的费用总和最低为 元.,4 900,解析 设向甲厂订购一等奖奖品x件,二等奖奖品y件,其中x,yN,则向 乙厂订购一等奖奖品(3-x)件,二等奖奖品(6-y)件,则x,y满足 设 费用总和为z元, 则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y), 即z=-300x-200y+6 000,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 所示. 由图可知直线z=-300x-200y+6 000过点A时,z取最小值. 由 得 即A(3,1),答案 4 900,所以zmin=-3003-2001+6 000=4 900,所以组委会订购该工艺品的费用 总和最低为4 900元.,
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