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第八节 解三角形,总纲目录,教材研读,2.实际问题中的常用角,考点突破,3.解关于解三角形的应用题的一般步骤,考点二 测量高度问题,考点一 测量距离问题,考点三 测量角度问题,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度 问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线 上方 的角叫仰角,目标视线在水平线 下方 的角叫俯 角(如图甲).,(2)方向角 一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北偏西45等. (3)方位角 从 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的 方位角为(如图乙). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比),3.解关于解三角形的应用题的一般步骤 (1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求.,1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔 A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方 向上,则灯塔A与灯塔B的距离为 ( ) A.a km B. a km C. a km D.2a km,B,答案 B 在ABC中,ACB=180-(20+40)=120,AB2=AC2+BC2- 2ACBCcos 120=a2+a2-2a2 =3a2,AB= a(km),故选B.,答案 A 对于,由正弦定理可确定A,B间的距离;对于,由余弦定 理可确定A,B间的距离;对于,不能确定A,B间的距离,故选A.,A,3.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点 的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB等于 ( ) A. B. C. a D.,答案 B 因为D=30,ACB=60, 所以CAD=30,故CA=CD=a, 所以AB=asin 60= .,B,4.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75,距灯塔68海 里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度 为 海里/小时.,答案,解析 如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45. 在PMN中, = , MN=68 =34 海里.,又由M到N所用的时间为14-10=4小时, 此船的航行速度v= = 海里/小时.,5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面 上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45和60,而且两条船与炮台 底部所连的线成30角,则两条船相距 m.,5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面 上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45和60,而且两条船与炮台 底部所连的线成30角,则两条船相距 m.,答案 10,10,解析 由题意画示意图,如图, OM=AOtan 45=30(m), ON=AOtan 30= 30=10 (m), 在MON中,由余弦定理得, MN= = =10 (m).,典例1 (1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为 75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于 ( ) A.240( -1)m B.180( -1)m C.120( -1)m D.30( +1)m,考点一 测量距离问题,考点突破,(2)如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向上,从城A出发有一条走向 为南偏东40的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆 汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离 为21 km,这时此车距离A城 千米.,答案 (1)C (2)15,解析 (1)如图,ACD=30,ABD=75,AD=60 m, 在RtACD中,CD= = =60 m, 在RtABD中,BD= = = =60(2- )m, BC=CD-BD=60 -60(2- )=120( -1)m. (2)在BCD中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得cos,BDC= = =- , 所以cosADC= ,所以sinADC= . 在ACD中,CD=21 km,CAD=60, 所以sinACD=sin(60+ADC)= + = . 由正弦定理得 = , 所以AD= =15 km.,方法技巧 求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题; (2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素; (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题,应作答).,1-1 设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的 距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则可以计算出A,B两点间的距离 为 ( ) A.50 m B.50 m C.25 m D. m,A,答案 A 由题意,易得B=30.由正弦定理,得 = ,AB= = =50 (m).,100,答案 100,解析 依题意有AB=600 m,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由 = , 得 = , 解得CB=300 m, 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 m, 则此山的高度CD为100 m.,易错警示 解决高度问题的注意事项 (1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念. (2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时 最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又 不容易搞错. (3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关 系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.,2-1 在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60,则塔高是 ( ) A. 米 B. 米 C.200 米 D.200米,A,答案 A 如图所示,AB为山高,CD为塔高,则由题意知,在RtABC中, BAC=30,AB=200米. 则AC= = (米). 在ACD中,CAD=60-30=30,ACD=30, ADC=120. 由正弦定理得 = , CD= = (米).,解析 如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x 小时, 则AC=14x(n mile),BC=10x(n mile),ABC=120.,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120, 解得x=2(负值舍去). 故AC=28 n mile,BC=20 n mile. 根据正弦定理得 = , 解得sin = = . 所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时 间为2小时,角的正弦值为 .,易错警示 解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方向角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关 键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理 的综合运用.,3-1 如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向,相距40海里的 B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线前往 B处救援,求cos 的值.,解析 在ABC中,AB=40海里,AC=20海里,BAC=120,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=20 海里. 由正弦定理,得sinACB= sinBAC= . 由BAC=120,知ACB为锐角, 故cosACB= . 故cos =cos(ACB+30) =cosACBcos 30-sinACB sin 30= .,
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