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第一节 函数及其表示,总纲目录,教材研读,1.函数与映射的概念,考点突破,2.函数的有关概念,3.分段函数,考点二 求函数的定义域,考点一 函数的有关概念,考点三 分段函数,1.函数与映射的概念,教材研读,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函 数的 值域 . (2)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应关系 . (3)相等函数:如果两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法: 解析法 、 图象法 、 列表法 .,3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.,1.下列是函数图象的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 中,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是 函数图象;中,当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;中,每 一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象,故选B.,B,2.(2016北京东城期中)下列函数中,定义域与值域相同的是 ( ) A.y= B.y=x2 C.y=log2x D.y=2x,答案 A A项,函数y= 的定义域与值域相同,B,C,D项中的函数定义 域与值域均不相同.故选A.,A,3.(2016北京临川学校期末)函数y= 的定义域是 ( ) A.(-,2) B.(2,+) C.(2,3)(3,+) D.(2,4)(4,+),答案 C 若函数y= 有意义,则 解得x2且x3,故选 C.,C,4.已知f =2x-5,且f(a)=6,则a等于 ( ) A.- B. C. D.-,答案 B 令t= x-1,则x=2t+2, f(t)=2(2t+2)-5=4t-1, f(a)=4a-1=6,即a= .,B,5.(2018北京海淀期中)若函数f(x)= 的值域为 ,则实 数a的取值范围是 ( ) A.(0,e) B.(e,+) C.(0,e D.e,+),D,答案 D 当x0时, f(x)=xex,则f (x)=ex(x+1), 当x0, x=-1是函数f(x)的极小值点,也是最小值点, f(x)min=- ,若函数f(x)的值域为 , 则当x0时, f(x)min- . 当a=0时,显然不符合题意, 当a0时,要满足f(x)min- , 只需 解得ae,故选D.,6.(2015北京西城二模)设函数f(x)= 则f (f(2)= ,函数 f(x)的值域是 .,答案 - ;-3,+),解析 f(2)= ,则f (f(2)=f =- . 当x1时, f(x)(0,1),当x1时, f(x)-3,+), f(x)-3,+).,考点突破,答案 (1)B (2)D,解析 (1)中,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,所以不是;中, 因为集合M中,当1x2时,在N中无元素与之对应,所以不是;中,当x =2(或x=0)时对应元素y=3N,所以不是.由函数定义知,是. (2)函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+),而y=x,y=2x的定义域均 为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D.,1-1 已知函数f(x)=|x-1|,则下列函数中与f(x)相等的函数是 ( ) A.g(x)= B.g(x)=x-1 C.g(x)= D.g(x)=,D,答案 D 选项A中函数的定义域为x|x-1,而函数f(x)的定义域为R, 故A选项不正确;选项B中函数的值域为R,而函数f(x)的值域为0,+),故 B选项不正确; f(x)=|x-1|可转化为f(x)= 这与选项C中函数的对 应关系不同,故C选项不正确;选项D中的函数与f(x)的定义域、对应关 系和值域均相同,因此选D.,C,答案 C,解析 要使函数有意义,必须有 x(-2,0)1,2).,命题角度二 求抽象函数的定义域 典例3 (1)若f(x)的定义域为0,3,求函数y=f(x2-1)的定义域.,(2)已知f(x2-1)的定义域为0,3,求函数y=f(x)的定义域.,(3)若f(x)的定义域为0,3,求函数y=f(x2-1)+f(2x+1)的定义域.,2-1 函数f(x)= + 的定义域为 ( ) A.x|x1,答案 B 要使函数有意义,则必须满足 0x1,故选B.,B,2-2 (2017北京西城一模)函数f(x)= 的定义域为 .,答案 x|x0且x1,解析 由题意得 解得x0且x1,故f(x)的定义域为x|x0且x1.,x|x0且x1,答案 (1)C (2) (3)1,解析 (1)-21, f(log212)= = =6. f(-2)+f(log212)=9. (2)-1- 0, f =2 +2= . 而0 2, f =- =- . -1- 0,f =2 +2= . 因此, f = . (3)f(6)=f(6-1)=f(5)=f(5-1)=f(4)=sin =sin =1.,答案 (1)-4,2 (2)1,解析 (1)由题意知 或 解得-4x0或0x2, 故x的取值范围是-4,2. (2)由题意得 或 解得m=1.,易错警示 (1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再 代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论. (2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应 根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是 否符合相应分段的自变量的取值范围.,3-1 (2017北京昌平期末)若函数f(x)= (1)当a=2时,若f(x)=1,则x= ; (2)若f(x)的值域为0,2,则a的取值范围是 .,答案 (1)0 (2) ,e2,解析 (1)当a=2时, f(x)= 令2-x=1,得x=0,符合题意; 令ln x=1,得x=e2,不符合题意,故x=0. (2)画出函数y=f(x)的图象(如图). 要满足函数f(x)的值域为0,2,需有 ln a2,即ln ln aln e2. 所以 ae2.,
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