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9.2 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值,高考数学,1.函数的单调性与导数 设函数f(x)在(a,b)内可导,f (x)是f(x)的导数,则,知识清单,注:(1)f(x)在(a,b)内可导为此规律成立的一个前提条件; (2)对于在(a,b)内可导的函数f(x)来说, f (x)0是 f(x)在(a,b)上为递增函 数的充分不必要条件;f (x)0,即并不是在定义域中的任意一点处都满足 f (x)0. (3)f(x)在I上单调递增,则f (x)0在I上恒成立; f(x)在I上单调递减,则f (x)0在I上恒成立.,注:(i)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义 域内可能有多个极大值和极小值;(ii)极大值与极小值没有必然关系,极 大值可能比极小值还小;(iii)导数等于零的点不一定是极值点(例如:f(x) =x3,f (x)=3x2,当x=0时,f (0)=0,但是x=0不是函数的极值点);(iv)可导函数 的极值点的导数必为零. 3.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x),在a,b上必 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值 与最小值. (2)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最 小值的步骤如下:,(i)求f(x)在(a,b)内的 极值 ; (ii)将f(x)的各 极 值与 f(a)、 f(b) 比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值.,利用导数研究函数的单调性 1.导数法求函数单调区间的一般步骤: 求定义域 求导数f (x) 求f (x)=0在定义域内的根 用求得的根划分定义区间 确定f (x)在各个开区间内的符号 得相应小开区 间上的单调性 2.导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: 求f (x). 确定f (x)在(a,b)内的符号. 作出结论.f (x)0时, f(x)为增函数, f (x)0时, f(x)为减函数.,方法技巧,例1 (2016江苏苏州中学月考)设函数f(x)= x3- x2+bx+c,曲线y=f(x)在 点(0,f(0)处的切线方程为y=1. (1)求b,c的值; (2)若a0,求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a的取值范围.,解析 (1)f (x)=x2-ax+b, 由题意得 所以 (2)由(1)得,f (x)=x2-ax=x(x-a)(a0), 当x(-,0)时,f (x)0; 当x(0,a)时,f (x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(a,+),单调递减区间为(0,a). (3)g(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x(-2,-1), 使不等式g(x)=x2-ax+20成立,即x(-2,-1)时,a =-2 , 所以满足要求的a的取值范围是(-,-2 ).,导数与函数单调性的应用 y=f(x)在某区间上若满足f (x)0,那么f(x)为该区间上的增函数,若满足f (x)0,那么f(x)为该区间上的减函数,若函数f(x)在某区间上单调递增(或 单调递减),则应有f (x)0(或f (x)0)在该区间上恒成立. 例2 (1)(2017江苏南京溧水中学质检)若函数f(x)=mx2+ln x-2x在定义 域内是增函数,则实数m的取值范围是 . (2)(2016江苏常州武进期中,13)已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函 数为f (x),当x(-,0时,恒有xf (x)f(-x),则满足 (2x-1)f(2x-1)f(3)的实 数x的取值范围是 .,解析 (1)f (x)=2mx+ -2, 由题意知,f (x)0在(0,+)上恒成立, 即2m- + 在(0,+)上恒成立, 令t= 0,则2m-t2+2t, 又(-t2+2t)max=1, 2m1,m . (2)令F(x)=xf(x),则F(x)=f(x)+xf (x), 当x(-,0时,xf (x)f(-x)恒成立,且由题意知f(-x)=-f(x), 当x(-,0时,F(x)0, 即F(x)在(-,0上递减.,不等式 (2x-1)f(2x-1)f(3)可化为(2x-1)f(2x-1)3f(3),即F(2x-1)F(3), 易知F(x)为偶函数, 所以不等式可化为|2x-1|3, 解得-1x2.,答案 (1) (2)(-1,2),利用导数研究函数的极(最)值 1.解决函数极值问题的一般思路 2.函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的,函数 的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,极值只能在区间内一点处 取得,最值则可以在端点处取得,有极值未必有最值,有最值未必有极值,极值可能成为最值.,例3 (1)(2017江苏南通、徐州联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x= 1处取得极小值10,则 的值为 . (2)(2017泰州中学第一次质量检测)已知函数f(x)= x3+x2-2ax+1,若函数f (x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为 .,解析 (1)f (x)=3x2+2ax+b,由题意得 解得 或 当 时,f (x)=3x2-12x+9,函数f(x)在x=1处取 得极大值10,当 时,f (x)=3x2-4x+1,函数f(x)在x=1处取得极小值1 0,所以 所以 的值为- . (2)f (x)=x2+2x-2a.由题意得f (x)在(1,2)上有零点,即方程x2+2x-2a=0在 (1,2)内有解a= (x2+2x) .,答案 (1)- (2),
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