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第九章 导数及其应用 9.1 导数的概念及几何意义、导数的运算,高考数学,1.导数的有关概念 (1)导数的概念:如果当x0时, 有极限,就说函数y=f(x)在x=x0处可 导,并把这个极限叫做y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率).记作f (x0)或y ,即f (x0)= = . (2)导函数:如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,其导数值在(a,b) 内构成一个新的函数,叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数.记作f (x)或y. (3)连续性:如果函数f(x)在x=x0处可导,那么函数y=f(x)在x=x0处连续.,知识清单,2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的 切线的 斜率 ,过点P的切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0).,4.导数的运算法则,拓展延伸 f (x0)与f (x)的关系 f (x0)表示f(x)在x=x0处的导数,即f (x0)是函数在某一点的导数;f (x)表示 函数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数,此时f (x)是区间(a,b)上关于x的 函数.,求函数的导数的方法 1.总原则:先化简解析式,再求导. 2.具体方法: (1)连乘形式:先展开化为多项式形式,再求导. (2)根式形式:先化为分数指数幂,再求导. (3)复杂分式:化为简单分式的和、差,再求导. 例1 (1)已知f(x)= x2+2xf (2 014)+2 014ln x,则f (2 014)= . (2)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f (1)= .,方法技巧,解析 (1)f (x)=x+2f (2 014)+ , 所以f (2 014)=2 014+2f (2 014)+ , 即f (2 014)=-(2 014+1)=-2 015. (2)由f(ex)=x+ex可得f(x)=x+ln x, f (x)=1+ , f (1)=1+1=2.,答案 (1)-2 015 (2)2,利用导函数求曲线的切线方程 若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y 0)是切点和不是切点两种情况求解. (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P(x1, f(x1); 第二步:写出曲线在点P(x1, f(x1)处的切线方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方 程.,例2 (2016江苏五校联考,11)已知曲线y= 与y= 的交点为P,两曲线 在点P处的切线分别为l1,l2,则切线l1,l2与y轴所围成的三角形的面积为 .,解析 由 解得 即P(4,2),由y= ,得y=( )= , 则直线l1的斜率k1= ,l1:y= x+1. 同理可得l2:y=- x+4, 如图,易知SABC= 34=6,即所求的面积为6.,答案 6,
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