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,第四章 三角函数,掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题,请注意 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视,变式：a ，b ，c . abc _.,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinA,sinB,sinC,2余弦定理 a2 ；b2 ； c2 .,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b22abcosC,3解三角形 (1)已知三边a，b，c. 运用余弦定理可求三角A，B，C. (2)已知两边a，b及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c. (3)已知两边a，b及一边对角A.,A为锐角时，若ab，_ 4已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边,无解,一解,两解,一解,无解,一解,(5)在ABC中，若acosBbcosA，则ABC是等腰三角形 (6)在ABC中，若tanAa2，tanBb2，则ABC是等腰三角形 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),2(教材习题改编)在ABC中，若a2bsinA，则B等于( ) A30或60 B45或60 C60或120 D30或150 答案 D,答案 1,答案 30，45，60或120，90，无解,题型一 利用正、余弦定理解斜三角形,【思路】 (1)已知a，b，A，由正弦定理可求B，从而可求C，c； (2)sinAsinBsinC由正弦定理可转化为abc，从而可知最大边c，所以最大角为C，用余弦定理可求,思考题1,【答案】 D,例2 在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状 【思路】 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系,题型二 三角形形状的判定,【解析】 方法一：已知得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB) 2a2cosAsinB2b2cosBsinA. 由正弦定理，得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA. sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0. sin2Asin2B.由02A,2B2， 得2A2B或2A2B. 即ABC是等腰三角形或直角三角形,【答案】 三角形为等腰三角形或直角三角形,【误区警示】 方法一：本题容易由sin2Asin2B只得出2A2B而漏掉2A2B. 方法二：对于a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)若采用约分只得出a2b2而漏解,在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosBccosCacosA，试判断ABC的形状 【思路】 判断三角形的形状也是高考常考内容，解决这类问题有两条途径，其一是从角入手，探求角的大小关系；其二是从边入手，探求三边满足的关系,思考题2,【解析】 方法一：bcosBccosCacosA， 由正弦定理，得sinBcosBsinCcosCsinAcosA. 即sin2Bsin2C2sinAcosA. 2B(BC)(BC)，2C(BC)(BC)， sin2Bsin(BC)cos(BC)cos(BC)sin(BC)， sin2Csin(BC)cos(BC)cos(BC)sin(BC) 2sin(BC)cos(BC)2sinAcosA. ABC，sin(BC)sinA. 而sinA0，cos(BC)cosA，即cos(BC)cos(BC)0.,2cosBcosC0. 0B，0C，,【答案】 直角三角形,题型三 与三角形面积有关的问题,探究3 (1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用 (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理 (3)在求三角形面积时，通过正、余弦定理求一个角，两边乘积，是一常见思路,思考题3,【答案】 C,(2)(2013新课标全国)ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosCcsinB. 求B； 若b2，求ABC面积的最大值,题型四 解三角形的应用,【思路】 (1)先利用三角形中角之间的关系可得BADADCB，然后即可利用两角差的正弦公式求解；(2)在ABD中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD，然后在ABC中，直接利用余弦定理求AC即可,探究4 三角形中三角恒等变换的基本思路是根据正余弦定理，把目标式中的边或角转化，借助内角和定理，减少三角恒等变换中的角,ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sinAsinC2sin(AC)； (2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值,思考题4,【解析】 (1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b. 由正弦定理，得sinAsinC2sinB. sinBsin(AC)sin(AC)， sinAsinC2sin(AC),1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：化边为角，化角为边；并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换 2用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等,3在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件如： (1)ABC. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然 (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 (4)在ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B60.,答案 D,答案 C,3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 答案 A,
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