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,第十章 计数原理,10.2 排列与组合,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.排列与组合的概念,一定的顺序,知识梳理,1,答案,2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示.,所有排列,所有组合,答案,3.排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),n！,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n1)！n！nn！.( ),答案,思考辨析,1.(教材改编)用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_.,48,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_种.,解析答案,1,2,3,4,5,方法二 从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法： 第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出； 第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的， 因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，,解析答案,1,2,3,4,5,第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，,因此共有4610种赠送方法.,答案 10,1,2,3,4,5,3.(2014辽宁改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_. 解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，,24,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为_. 解析 分两类：男1女2或男2女1，,30,解析答案,1,2,3,4,5,5.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是_. 解析 从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，,故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是903060.,60,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_种不同的排法. 解析 问题即为从7个元素中选出5个全排列，,2 520,题型一 排列问题,解析答案,(2)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种.,解析答案,若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，,若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，,若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同， 故共有2(1207248)480种排法. 答案 480,1.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,引申探究,解析答案,2.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,解析答案,3.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,解析答案,4.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,解析答案,思维升华,思维升华,排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.,用0,1,2,3,4,5这6个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ 解 符合要求的四位偶数可分为三类：,跟踪训练1,解析答案,(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? 解 先排0,2,4，再让1,3,5插空，,解析答案,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？,某一种假货必须在内的不同取法有561种.,题型二 组合问题,解析答案,(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？,某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.,解析答案,(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？,恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种. (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？,至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.,解析答案,(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,解析答案,思维升华,思维升华,组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,从10位学生中选出5人参加数学竞赛. (1)甲必须入选的有多少种不同的选法？ 解 学生甲入选，再从剩下的9人选4人，,(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？,故甲、乙、丙不能同时都入选的有25221231种不同的选法.,跟踪训练2,解析答案,命题点1 相邻问题 例3 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_.(用式子表示) 解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家， 所以有(3！)4种坐法.,(3！)4,题型三 排列与组合问题的综合应用,解析答案,命题点2 相间问题 例4 (2014重庆改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_种.,解析答案,解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空. 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，,解析答案,同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，,故共有363648120种安排方法. 答案 120,命题点3 特殊元素(位置)问题 例5 (2014四川改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种.,所以共有12096216种方法.,216,解析答案,思维升华,思维升华,排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列. (2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用. (3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置. (4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数.,(1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_.,方法二 先从6个班级中选2个班级有C 15种不同方法，,90,跟踪训练3,解析答案,(2)(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种.,60,解析答案,返回,易错警示系列,典例 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,14.排列、组合问题计算重、漏致误,易错警示系列,解析答案,易错分析,温馨提醒,返回,解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，,方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，,答案 1 136,温馨提醒,返回,温馨提醒,(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素(位置)优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. (2)“至少、至多”型问题不能直接利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.,思想方法 感悟提高,1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.,方法与技巧,2.排列、组合问题的求解方法与技巧： (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.,求解排列与组合问题的注意点： (1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理. (2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种. 解析 共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数， 则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，,66,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为_(用数字作答).,420,解析答案,3.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 42,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有_种.,由分步计数原理，实验编排共有24896种方法.,96,解析答案,5.(2014安徽改编)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有_对. 解析 正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有 66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60角. 相对两面上的4条对角线组成的 6对组合中，平行有2对，垂直有4对，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,48,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.(2015广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言. 解析 依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数， 所以全班共写了 40391 560条毕业留言.,1 560,解析答案,7.(2014北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种. 解析 先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有 种方法，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,故满足条件的摆法有481236种.,36,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种. 解析 把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有 种排法； 第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为 12.,11,解析答案,9.2015年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金兔卡”，求这组号码中“金兔卡”的张数. 解 当后四位数有2个6时，“金兔卡”共有C 99486张； 当后四位数有2个8时，“金兔卡”也共有C 99486张. 但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况， 所以要减掉C 6，即“金兔卡”共有48626966张.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类： 第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为 6种；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由分类计数原理，选派方法数共有61281238种.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有_种. 解析 丙、丁不能相邻着舰， 则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”. 由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共224种.,由分步计数原理，共有4624种着舰方法.,24,解析答案,12.(2014广东改编)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中， 因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5， 所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情况有“一个1(或1)，四个0，有C 2种；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 130,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法.,故6个毕业生平均分到3所学校，,90,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ 解 为保证“恰有1个盒不放球”， 先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”， 即把4个球分成2,1,1的三组， 然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？,解 “恰有1个盒内有2个球”， 即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球， 也即另外3个盒子中恰有一个空盒， 因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事， 所以共有144种放法.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？,4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，,解析答案,15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？ (1)两个女生必须相邻而站； 解 两个女生必须相邻而站， 把两个女生看做一个元素， 则共有6个元素进行全排列，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)4名男生互不相邻； 解 4名男生互不相邻， 应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有 144种站法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)老师不站中间，女生甲不站左端.,当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，,根据分类计数原理知共有7203 0003 720种站法.,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,
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