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,第十章 计数原理和概率,1了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差 2离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向 请注意 期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一高考的主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用题,1期望与方差 若离散型随机变量的概率分布为,标准差,(),2离散型随机变量的期望与方差具有下列性质 (1)离散型随机变量的期望E()与方差D()是一个_，它们是随机变量本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性 (2)若离散型随机变量的一切值位于区间a，b内，E()的取值范围是 . (3)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的_，而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程度,数值,aE()b,平均水平,(4)若ab，其中是离散型随机变量，a，b为常数，则E() ，D() (5)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E()的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值 (6)D()E( 2)(E()2,aE()b,a2D(),3常见离散型随机变量的期望与方差 (1)两点分布：若随机变量满足P(1)p，P(0)1p，则E() ，D() (2)二项分布：若随机变量B(n，p)，则E() ，D() ,p,p(1p),np,np(1p),1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关 (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小,(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7. 答案 (1) (2) (3) (4),2设随机变量B(n，p)，且E()1,6，D()1.28，则( ) An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45 答案 A 解析 由E()np1.6，D()np(1p)1.28，检验可知n8，p0.2符合,3(2014陕西理)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为( ) A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a 答案 A,4(2014上海黄浦二模)某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量的数学期望值E()_.,解析 的分布列为,5随机变量的分布列如下：,题型一 期望、方差的性质,探究1 若是随机变量，则f()一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算,(1)设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，x19的公差，随机变量等可能地取值x1，x2，x3，x19，则方差D()_.,思考题1,(2)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一个球，表示所取球的标号 求的分布列、期望和方差； 若ab，E()1，D()11，试求a，b的值,【解析】 的分布列为,【答案】 E()1.5，D()2.75 a2，b2或a2，b4,例2 一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球 (1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差,题型二 期望与方差的计算,X的分布列为,探究2 求离散型随机变量X的均值与方差的方法： (1)写出X的分布列； (2)由均值的定义求E(X)； (3)由方差的定义求D(X),(2014天津理)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望,思考题2,【思路】 (1)利用古典概型的概率公式求解； (2)先确定随机变量X的所有取值，求出对应的概率，列出分布列，再代入随机变量的期望公式求解,题型三 二项分布的均值与方差,探究3 求随机变量的期望时，可首先分析是否服从二项分布，若B(n，p)，则用公式E()np求解，可大大减少计算量,思考题3,考生甲正确完成题数的分布列为,从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强 【答案】 (1)E()甲2，E()乙2 (2)甲的实验操作能力较强,1离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明的描写期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散程度，即取值的稳定性把握离散型随机变量的数学期望与方差的含义，是处理有关应用题的重要环节,2期望与方差的常用性质，掌握下述有关性质，会给解题带来方便： (1)E(ab)aE()b； E()E()E()； D(ab)a2D()； (2)若B(n，p)，则E()np，D()np(1p),1有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于_,答案 B,3(2015衡水调研卷)某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车，分配到附近的A，B，C，D四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车若这五辆消防车中去A村的辆数为随机变量，则E()的值为( ),答案 D,4马老师从课本上抄录的一个随机变量的概率分布列如下表： 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E()_.,答案 2 解析 令“？”为a，“！”为b，则2ab1. 又E()a2b3a2(2ab)2.,所以的分布列为,
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