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,第十章 计数原理和概率,1理解排列、组合的概念 2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 3能解决简单的实际问题 请注意 1排列、组合问题每年必考 2以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力 3以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查,1两个概念 (1)排列 从n个不同元素中取出m个元素(mn)，按照_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 (2)组合 从n个元素中取出m个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,一定顺序排成一列,并成一组,2两个公式 (1)排列数公式 规定0！ .,n(n1)(n2)(nm1),1,1,3组合数的两个性质,1(课本习题改编)下列等式不正确的是( ),答案 B,2(2014辽宁理)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A144 B120 C72 D24 答案 D,3若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A60种 B63种 C65种 D66种 答案 D,4若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有( ) A84种 B98种 C112种 D140种 答案 D,5一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有_种选答方案 答案 200,题型一 排列数、组合数公式,探究1 运用排列数、组合数公式证明等式时，一般用阶乘式运用排列数、组合数公式计算具体数字的排列数、组合数时一般用展开式，直接进行运算,思考题1,【答案】 (1)x8 (2)165,例2 7位同学站成一排： (1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？ (2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？,题型二 排列应用题,(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考,【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为元素分析法或位置分析法),探究2 求解排列应用题的主要方法：,(1)(2014四川理)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A192种 B216种 C240种 D288种,思考题2,【答案】 B,(2)(2014重庆理)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A72 B120 C144 D168,【答案】 B,(3)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数有_,【答案】 346,例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假货现从35件商品中选取3件 (1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？,题型三 组合应用题,【讲评】 组合问题常有以下两类题型： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理,探究3 有限制条件的组合问题的解题思路，同样要从限制条件入手因组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单常见情况有： (1)某些元素必选； (2)某些元素不选； (3)把元素分组，根据在各组中分别选多少，分类； (4)排除法,7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A，B必须当选； (2)A，B必不当选； (3)A，B不全当选； (4)至少有2名女生当选； (5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任,思考题3,【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600,例4 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？,题型四 排列、组合混合题,【答案】 432,探究4 排列、组合的混合题推理是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题其基本的解题步骤为： 第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素 第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列 第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果,有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内 (1)共有多少种放法？ (2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？,思考题4,(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有144种放法,【答案】 (1)256 (2)144 (3)144 (4)84,1解排列组合题的“16字方针，12个技巧”： (1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘,(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径即： 相邻问题捆绑法； 不相邻问题插空法； 多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法,2计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行的，分步是否按事件发生的过程进行的 3画示意图是寻找解题途径的有效手段,1从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有( ) A9个 B24个 C36个 D54个 答案 D,2从甲、乙等5人中选3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是( ) A12 B24 C36 D48 答案 D,答案 C,4从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为_ 答案 216,5某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修4门，共有_种不同的选修方案(用数值作答) 答案 75,6把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列 (1)43 251是这个数列的第几项？ (2)这个数列的第96项是多少？ 答案 (1)88项 (2)45 321,
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